Question

点 $P$ 在等边三角形 $\triangle ABC$ 内部。点 $Q$ ， $R$ 和 $S$ 分别是从 $P$ 到 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CA}$ 的垂足。已知 $PQ = 1$ 、 $PR = 2$ 、 $PS = 3$ ， $AB$ 是多少？

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q,$ $R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ = 1,$ $PR = 2,$ and $PS = 3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt3$

$6$

$4\sqrt3$

$9$

答案：D

知识点：等边三角形面积分割三角形面积

难度评级：1640

小提示：

连接 $P$ 与三个顶点，将 $\triangle ABC$ 分成三个较小三角形。

Connect $P$ to the three vertices to split $\triangle ABC$ into three smaller triangles

大提示：

它们的面积为 $\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}$ ；令和等于 $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 。

Their areas are $\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}$ ; set the sum equal to $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$

解答：

设边长为 $s$ 。从 $P$ 作出的垂线是三角形 $APB$ 、 $BPC$ 、 $CPA$ 的高，所以它们的面积分别为 $\dfrac{s}{2}$ 、 $s$ 、 $\dfrac{3s}{2}$ 。

面积和等于 $\triangle ABC$ 的面积 $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ ，因此 $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 。

正解为 $s=4\sqrt3$ 。

所以正确答案是 D。

Let the side length be $s.$ The perpendiculars from $P$ are the heights of triangles $APB,$ $BPC,$ and $CPA,$ so their areas are $\dfrac{s}{2},$ $s,$ and $\dfrac{3s}{2}.$

Their sum equals the area of $\triangle ABC,$ which is also $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$ Hence $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$

The positive solution is $s=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B 第 17 题

答案：D

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题