2007 AMC 10B 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Isabella 的房子有 $3$ 间卧室。每间卧室长 $12$ 英尺，宽 $10$ 英尺，高 $8$ 英尺。Isabella 必须粉刷所有卧室的墙。每间卧室中不需要粉刷的门洞和窗户占 $60$ 平方英尺。需要粉刷多少平方英尺的墙？

Isabella’s house has $3$ bedrooms. Each bedroom is $12$ feet long, $10$ feet wide, and $8$ feet high. Isabella must paint the walls of all the bedrooms. Doorways and windows, which will not be painted, occupy $60$ square feet in each bedroom. How many square feet of walls must be painted?

$678$

$768$

$786$

$867$

$876$

知识点：表面积周长

难度评级：720

小提示：

每间卧室有四面墙；用周长和高度求总墙面面积。

Each bedroom has four walls; find the total wall area from the perimeter and the height

大提示：

用房间周长乘以高度，再减去 $60$ 。

Multiply the room’s perimeter by its height, then subtract $60$

解答：

一间卧室的墙面面积为 $2(12+10)\cdot 8 = 44\cdot 8 = 352$ 平方英尺。减去门洞和窗户的 $60$ 平方英尺，每间卧室需粉刷 $352-60=292$ 平方英尺。

有 $3$ 间卧室，所以共需粉刷 $3\cdot 292 = 876$ 平方英尺。

所以正确答案是 E。

The walls of one bedroom have area $2(12+10)\cdot 8 = 44\cdot 8 = 352$ square feet. Subtracting the $60$ square feet of doorways and windows leaves $352-60=292$ square feet per bedroom.

With $3$ bedrooms, the total is $3\cdot 292 = 876$ square feet.

Thus, the correct answer is E.

2.

定义运算 $\star$ 为 $a\star b = (a+b)b$ 。求 $(3\star 5)-(5\star 3)$ 的值。

Define the operation $\star$ by $a\star b = (a+b)b.$ What is $(3\star 5)-(5\star 3)?$

$-16$

$-8$

$0$

$8$

$16$

知识点：自定义运算运算顺序

难度评级：870

小提示：

分别计算 $3\star 5$ 和 $5\star 3$ 。

Compute $3\star 5$ and $5\star 3$ separately

大提示：

$3\star 5=(3+5)\cdot 5$ ，且 $5\star 3=(5+3)\cdot 3$ 。

$3\star 5=(3+5)\cdot 5$ and $5\star 3=(5+3)\cdot 3$

解答：

因为 $3\star 5=(3+5)\cdot 5=40$ ，且 $5\star 3=(5+3)\cdot 3=24$ ，所以差为 $40-24=16$ 。

所以正确答案是 E。

Since $3\star 5=(3+5)\cdot 5=40$ and $5\star 3=(5+3)\cdot 3=24,$ the difference is $40-24=16.$

Thus, the correct answer is E.

3.

一名大学生周末开小型车回家 $120$ 英里，平均每加仑行驶 $30$ 英里。返程时他开父母的 SUV，平均每加仑只行驶 $20$ 英里。往返全程平均每加仑行驶多少英里？

A college student drove his compact car $120$ miles home for the weekend and averaged $30$ miles per gallon. On the return trip the student drove his parents’ SUV and averaged only $20$ miles per gallon. What was the average gas mileage, in miles per gallon, for the round trip?

$22$

$24$

$25$

$26$

$28$

知识点：调和平均数速率

难度评级：980

小提示：

平均燃油效率是总距离除以总耗油量，不是两个数值的普通平均。

Average mileage is total distance divided by total gallons, not the average of the two rates

大提示：

先求两段路各用了多少加仑，再用 $240$ 除以总加仑数。

Find the gallons used each way, then divide $240$ by their sum

解答：

回家用了 $\frac{120}{30}=4$ 加仑，返程用了 $\frac{120}{20}=6$ 加仑，共用 $10$ 加仑，行驶 $240$ 英里。

平均为 $\frac{240}{10} = 24$ 英里/加仑。

所以正确答案是 B。

The student used $\frac{120}{30}=4$ gallons driving home and $\frac{120}{20}=6$ gallons returning, for $10$ gallons over $240$ miles.

The average is $\frac{240}{10} = 24$ miles per gallon.

Thus, the correct answer is B.

4.

点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心，如图， $\angle BOC = 120^\circ$ ，且 $\angle AOB = 140^\circ$ 。 $\angle ABC$ 的度数是多少？

The point $O$ is the center of the circle circumscribed about $\triangle ABC,$ with $\angle BOC = 120^\circ$ and $\angle AOB = 140^\circ,$ as shown. What is the degree measure of $\angle ABC?$

$35$

$40$

$45$

$50$

$60$

知识点：外接圆、外心与外接圆半径等腰三角形导角

难度评级：1030

小提示：

所有半径相等，所以三角形 $AOB, BOC, COA$ 都是等腰三角形。

Each radius is equal, so each of the triangles $AOB, BOC, COA$ is isosceles

大提示：

$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC$ ，两部分都是等腰三角形的底角。

$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC,$ where each part is a base angle of an isosceles triangle

解答：

因为 $OA=OB=OC$ ，三角形 $AOB, BOC$ 和 $COA$ 都是等腰三角形。底角给出 $\angle ABO=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$ ， $\angle OBC=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$ 。

因此 $\angle ABC=20^\circ+30^\circ=50^\circ$ 。

所以正确答案是 D。

Since $OA=OB=OC,$ triangles $AOB, BOC,$ and $COA$ are isosceles. The base angles give $\angle ABO=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$ and $\angle OBC=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$

Therefore $\angle ABC=20^\circ+30^\circ=50^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

5.

在某个地方，所有 Arogs 都是 Brafs，所有 Crups 都是 Brafs，所有 Dramps 都是 Arogs，所有 Crups 都是 Dramps。以下哪一项由这些事实推出？

In a certain land, all Arogs are Brafs, all Crups are Brafs, all Dramps are Arogs, and all Crups are Dramps. Which of the following statements is implied by these facts?

所有 Dramps 都是 Brafs 且都是 Crups。

All Dramps are Brafs and are Crups.

所有 Brafs 都是 Crups 且都是 Dramps。

All Brafs are Crups and are Dramps.

所有 Arogs 都是 Crups 且都是 Dramps。

All Arogs are Crups and are Dramps.

所有 Crups 都是 Arogs 且都是 Brafs。

All Crups are Arogs and are Brafs.

所有 Arogs 都是 Dramps，且有些 Arogs 可能不是 Crups。

All Arogs are Dramps and some Arogs may not be Crups.

知识点：逻辑推理

难度评级：1020

小提示：

将每个事实写成类别之间的蕴含关系。

Write each fact as an implication between the categories

大提示：

沿着链 $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B$ 推理。

Follow the chain $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B$

解答：

将陈述写成蕴含关系：Crup 蕴含 Dramp，Dramp 蕴含 Arog，Arog 蕴含 Braf，即 $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B$ 。

所以每个 Crup 都是 Dramp、Arog 和 Braf；选项中唯一必然成立的是：所有 Crups 都是 Arogs 和 Brafs。

所以正确答案是 D。

Writing the statements as implications, being a Crup implies being a Dramp, a Dramp implies being an Arog, and an Arog implies being a Braf: $C\Rightarrow D\Rightarrow A\Rightarrow B.$

So every Crup is a Dramp, an Arog, and a Braf. The only listed statement guaranteed true is that all Crups are Arogs and Brafs.

Thus, the correct answer is D.

6.

$2007$ 年 AMC $10$ 的计分规则为：每答对一题得 $6$ 分，每答错一题得 $0$ 分，每道未答题得 $1.5$ 分。Sarah 看完 $25$ 道题后决定尝试前 $22$ 题，只留下最后 $3$ 题不答。为了至少得到 $100$ 分，她前 $22$ 题中至少要答对多少题？

The $2007$ AMC $10$ will be scored by awarding $6$ points for each correct response, $0$ points for each incorrect response, and $1.5$ points for each problem left unanswered. After looking over the $25$ problems, Sarah has decided to attempt the first $22$ and leave only the last $3$ unanswered. How many of the first $22$ problems must she solve correctly in order to score at least $100$ points?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

知识点：不等式一次方程

难度评级：1120

小提示：

未答题也会贡献分数。

The unanswered problems still contribute points

大提示：

先减去 $3$ 道空题的分数，再用剩下需要的分数除以 $6$ 。

Subtract the points from the $3$ blanks, then divide the remaining needed points by $6$

解答：

三道空题给 $3\cdot 1.5 = 4.5$ 分，所以 Sarah 需要从前 $22$ 题得到 $100-4.5=95.5$ 分。

因为 $\frac{95.5}{6}$ 介于 $15$ 和 $16$ 之间，她至少要答对 $16$ 题，此时总分为 $100.5$ 。

所以正确答案是 D。

The three blank problems give $3\cdot 1.5 = 4.5$ points, so Sarah needs $100-4.5=95.5$ points from the first $22.$

Since $\frac{95.5}{6}$ lies between $15$ and $16,$ she must answer at least $16$ correctly, which would give a score of $100.5.$

Thus, the correct answer is D.

7.

凸五边形 $ABCDE$ 的所有边长相等，且 $\angle A = \angle B = 90^\circ$ 。 $\angle E$ 的度数是多少？

All sides of the convex pentagon $ABCDE$ are of equal length, and $\angle A = \angle B = 90^\circ.$ What is the degree measure of $\angle E?$

$90$

$108$

$120$

$144$

$150$

知识点：角度和正方形（几何）等边三角形

难度评级：1190

小提示：

相邻两个直角和相等边长构成图形中的一个正方形部分。

Two right angles at adjacent vertices make part of the figure a square

大提示：

$ABCE$ 是正方形， $\triangle CDE$ 是等边三角形。

$ABCE$ is a square and $\triangle CDE$ is equilateral

解答：

因为 $AB=BC=EA$ 且 $\angle A=\angle B=90^\circ$ ，四边形 $ABCE$ 是正方形，所以 $\angle AEC=90^\circ$ 。

余下的边满足 $CD=DE=EC$ ，所以 $\triangle CDE$ 是等边三角形， $\angle CED=60^\circ$ 。

因此 $\angle E=\angle AEC$ $+\angle CED=90^\circ$ $+60^\circ=150^\circ$ 。

所以正确答案是 E。

Because $AB=BC=EA$ and $\angle A=\angle B=90^\circ,$ quadrilateral $ABCE$ is a square, so $\angle AEC=90^\circ.$

The remaining sides satisfy $CD=DE=EC,$ so $\triangle CDE$ is equilateral and $\angle CED=60^\circ.$

Therefore $\angle E=\angle AEC$ $+\angle CED=90^\circ$ $+60^\circ=150^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

8.

在这场 AMC $10$ 编写会议结束返程时，竞赛主席注意到他的机场停车收据上的数字形如 $bbcac$ ，其中 $0\le a\lt b\lt c\le 9$ ，且 $b$ 是 $a$ 和 $c$ 的平均数。有多少个不同的五位数满足所有这些性质？

On the trip home from the meeting where this AMC $10$ was constructed, the Contest Chair noted that his airport parking receipt had digits of the form $bbcac,$ where $0\le a\lt b\lt c\le 9,$ and $b$ was the average of $a$ and $c.$ How many different five-digit numbers satisfy all these properties?

$12$

$16$

$18$

$20$

$24$

知识点：数字奇偶性组合

难度评级：1290

小提示：

条件 $b=\dfrac{a+c}{2}$ 迫使 $a$ 和 $c$ 奇偶性相同。

The condition $b=\dfrac{a+c}{2}$ forces $a$ and $c$ to have the same parity

大提示：

分别在偶数数字和奇数数字中数出 $a\lt c$ 的配对；每对都唯一确定 $b$ 。

Count pairs $a\lt c$ among the even digits and among the odd digits; each pair fixes $b$

解答：

一旦选定 $a$ 和 $c$ ， $b=\dfrac{a+c}{2}$ 就确定，且 $a\lt b\lt c$ 自动成立。为了使 $b$ 为整数， $a$ 和 $c$ 必须同奇偶。

从 $\{0,2,4,6,8\}$ 中选两个，有 $\binom{5}{2}=10$ 对；从 $\{1,3,5,7,9\}$ 中选两个，又有 $10$ 对。

因此共有 $20$ 个符合条件的五位数。

所以正确答案是 D。

Once $a$ and $c$ are chosen, $b=\dfrac{a+c}{2}$ is determined, and $a\lt b\lt c$ holds automatically. For $b$ to be an integer, $a$ and $c$ must share parity.

Choosing two even digits from $\{0,2,4,6,8\}$ gives $\binom{5}{2}=10$ pairs, and choosing two odd digits from $\{1,3,5,7,9\}$ gives another $10.$

This yields $20$ valid numbers.

Thus, the correct answer is D.

9.

一个密码编码规则如下：某个字母在给定消息中第一次出现时，替换成字母表中向右 $1$ 位的字母（规定 A 在 Z 的右边一位）。同一个字母第二次出现时，替换成向右 $1+2$ 位的字母；第三次出现时，替换成向右 $1+2+3$ 位的字母；依此类推。

例如，用这种编码，单词“banana”变为“cbodqg”。在消息“Lee’s sis is a Mississippi miss, Chriss!”中，最后一个字母 s 会被替换成什么字母？

A cryptographic code is designed as follows. The first time a letter appears in a given message it is replaced by the letter that is $1$ place to its right in the alphabet (assuming that the letter A is one place to the right of the letter Z). The second time this same letter appears in the given message, it is replaced by the letter that is $1+2$ places to the right, the third time it is replaced by the letter that is $1+2+3$ places to the right, and so on. For example, with this code the word “banana” becomes “cbodqg”. What letter will replace the last letter s in the message

“Lee’s sis is a Mississippi miss, Chriss!”?

$g$

$h$

$o$

$s$

$t$

知识点：模运算三角形数

难度评级：1370

小提示：

数出整条消息中字母 s 出现了多少次。

Count how many times the letter s appears in the whole message

大提示：

总位移为 $1+2+\cdots+12$ ，然后对 $26$ 取余。

The total shift is $1+2+\cdots+12,$ then reduce that modulo $26$

解答：

最后一个 s 是消息中字母 s 的第 $12$ 次出现，所以它向右移动 $1+2+\cdots+12=\dfrac{12\cdot 13}{2}=78$ 位。

因为 $78=3\cdot 26$ 是字母表长度 $26$ 的倍数，所以移动后回到同一个字母 s。

所以正确答案是 D。

The final s is the $12$ th appearance of the letter s in the message, so it is shifted $1+2+\cdots+12=\dfrac{12\cdot 13}{2}=78$ places to the right.

Since $78=3\cdot 26$ is a multiple of the alphabet length $26,$ the shift returns to the same letter, s.

Thus, the correct answer is D.

10.

平面上有两点 $B$ 和 $C$ 。设 $S$ 为平面上所有点 $A$ 的集合，使得 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$ 。下列哪一项描述了 $S$ ？

Two points $B$ and $C$ are in a plane. Let $S$ be the set of all points $A$ in the plane for which $\triangle ABC$ has area $1.$ Which of the following describes $S?$

两条平行线

two parallel lines

一条抛物线

a parabola

一个圆

a circle

一条线段

a line segment

两个点

two points

知识点：三角形面积平行线

难度评级：1270

小提示：

固定 $BC$ 为底；面积决定点 $A$ 到底边的高。

Fix $BC$ as the base; the area determines the height from $A$

大提示：

到直线 $BC$ 距离固定的所有点位于两条平行线上。

All points at a fixed distance from line $BC$ lie on two parallel lines

解答：

以 $BC$ 为底，面积为 $\dfrac12(BC)d$ ，其中 $d$ 是 $A$ 到直线 $BC$ 的距离。面积等于 $1$ 当且仅当 $d=\dfrac{2}{BC}$ 。

到直线 $BC$ 距离固定的点形成两条平行于 $BC$ 的直线，分居两侧。

所以正确答案是 A。

Taking $BC$ as the base, the area is $\dfrac12(BC)d,$ where $d$ is the distance from $A$ to line $BC.$ The area equals $1$ exactly when $d=\dfrac{2}{BC}.$

The points at this fixed distance from line $BC$ form two lines parallel to $BC,$ one on each side.

Thus, the correct answer is A.

11.

一个圆经过一个等腰三角形的三个顶点，该三角形两条边长为 $3$ ，底边长为 $2$ 。这个圆的面积是多少？

A circle passes through the three vertices of an isosceles triangle that has two sides of length $3$ and a base of length $2.$ What is the area of this circle?

$2\pi$

$\dfrac{5}{2}\pi$

$\dfrac{81}{32}\pi$

$3\pi$

$\dfrac{7}{2}\pi$

知识点：外接圆、外心与外接圆半径三角形面积圆面积

难度评级：1460

小提示：

使用外接圆半径公式 $R=\dfrac{abc}{4K}$ ，其中 $K$ 是三角形面积。

Use the circumradius formula $R=\dfrac{abc}{4K},$ where $K$ is the triangle’s area

大提示：

三边为 $3$ 、 $3$ 、 $2$ ；由底和高求面积，再计算 $R$ 。

The sides are $3,$ $3,$ and $2;$ find the area from the base and height, then compute $R$

解答：

三角形边长为 $3$ 、 $3$ 、 $2$ 。它的面积为 $\dfrac12\cdot 2\cdot\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2$ 。

外接圆半径为 $R=\dfrac{abc}{4K}$ $=\dfrac{3\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 2\sqrt2}$ $=\dfrac{9}{4\sqrt2}$ $=\dfrac{9\sqrt2}{8}$ 。

圆面积为 $\pi R^2=\pi\cdot\dfrac{81\cdot 2}{64}=\dfrac{81}{32}\pi$ 。

所以正确答案是 C。

The triangle has sides $3,$ $3,$ and $2.$ Its area is $\dfrac12\cdot 2\cdot\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$

The circumradius is $R=\dfrac{abc}{4K}$ $=\dfrac{3\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 2\sqrt2}$ $=\dfrac{9}{4\sqrt2}$ $=\dfrac{9\sqrt2}{8}.$

The area of the circle is $\pi R^2=\pi\cdot\dfrac{81\cdot 2}{64}=\dfrac{81}{32}\pi.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Tom 的年龄为 $T$ 岁，也等于他三个孩子年龄之和。 $N$ 年前，他的年龄是当时三个孩子年龄之和的两倍。 $\frac{T}{N}$ 是多少？

Tom’s age is $T$ years, which is also the sum of the ages of his three children. His age $N$ years ago was twice the sum of their ages then. What is $\frac{T}{N}?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

知识点：年龄问题一次方程

难度评级：1290

小提示：

用 $T$ 和 $N$ 表示 $N$ 年前三个孩子的年龄和。

Express the children’s total age $N$ years ago in terms of $T$ and $N$

大提示：

$T-N=2(T-3N)$ 。

$T-N=2(T-3N)$

解答：

$N$ 年前 Tom 的年龄为 $T-N$ ，三个孩子年龄之和为 $T-3N$ 。

条件给出 $T-N=2(T-3N)$ ，所以 $T-N=2T-6N$ ，化简为 $5N=T$ 。

因此 $\frac{T}{N}=5$ 。

所以正确答案是 D。

$N$ years ago Tom’s age was $T-N,$ and the sum of his three children’s ages was $T-3N.$

The condition gives $T-N=2(T-3N),$ so $T-N=2T-6N,$ which simplifies to $5N=T.$

Therefore $\frac{T}{N}=5.$

Thus, the correct answer is D.

13.

两个半径为 $2$ 的圆分别以 $(2,0)$ 和 $(0,2)$ 为圆心。这两个圆内部交集的面积是多少？

Two circles of radius $2$ are centered at $(2,0)$ and at $(0,2).$ What is the area of the intersection of the interiors of the two circles?

$\pi-2$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi\sqrt3}{3}$

$2(\pi-2)$

$\pi$

知识点：扇形面积分割对称性

难度评级：1580

小提示：

找出两个圆的交点。

Find the two points where the circles intersect

大提示：

交集的一半是一个四分之一圆减去一个直角边为 $2$ 的等腰直角三角形。

Half the region is a quarter-circle minus an isosceles right triangle of leg $2$

解答：

两个圆交于 $(0,0)$ 和 $(2,2)$ 。

由对称性，交集的一半是从一个圆的四分之一圆中去掉直角边为 $2$ 的等腰直角三角形。四分之一圆面积为 $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ ，三角形面积为 $\dfrac12(2)^2=2$ 。

所以交集面积为 $2(\pi-2)$ 。

所以正确答案是 D。

The two circles intersect at $(0,0)$ and $(2,2).$

By symmetry, half the intersection is formed by removing an isosceles right triangle of leg length $2$ from a quarter of one circle. The quarter-circle has area $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ and the triangle has area $\dfrac12(2)^2=2.$

Therefore the whole region has area $2(\pi-2).$

Thus, the correct answer is D.

14.

一些男生和女生正在洗车，为班级去中国旅行筹款。起初，小组中 $40\%$ 是女生。不久后两名女生离开，两名男生加入，此时小组中 $30\%$ 是女生。起初小组中有多少名女生？

Some boys and girls are having a car wash to raise money for a class trip to China. Initially $40\%$ of the group are girls. Shortly thereafter two girls leave and two boys arrive, and then $30\%$ of the group are girls. How many girls were initially in the group?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

知识点：百分数一次方程

难度评级：1330

小提示：

两人离开、两人加入后，小组总人数不变。

The group size does not change when two leave and two arrive

大提示：

离开的两名女生代表全组的 $40\%-30\%$ 。

The two departing girls represent $40\%-30\%$ of the group

解答：

两名女生离开，两名男生加入，所以小组总人数不变。离开的两名女生代表全组的 $40\%-30\%=10\%$ 。

所以小组共有 $2\div 0.10=20$ 人，起初女生人数是 $20$ 人的 $40\%$ ，即 $8$ 。

所以正确答案是 C。

Two girls leave and two boys arrive, so the group size is unchanged. The two girls who left therefore represent $40\%-30\%=10\%$ of the group.

Thus the group has $2\div 0.10=20$ people, and the original number of girls was $40\%$ of $20,$ or $8.$

Thus, the correct answer is C.

15.

四边形 $ABCD$ 的角满足 $\angle A = 2\angle B = 3\angle C = 4\angle D$ 。将 $\angle A$ 的度数四舍五入到最接近的整数，是多少？

The angles of quadrilateral $ABCD$ satisfy $\angle A = 2\angle B = 3\angle C = 4\angle D.$ What is the degree measure of $\angle A,$ rounded to the nearest whole number?

$125$

$144$

$153$

$173$

$180$

知识点：角度和比与比例

难度评级：1370

小提示：

用 $\angle A$ 表示 $\angle B$ 、 $\angle C$ 、 $\angle D$ 。

Write $\angle B,$ $\angle C,$ and $\angle D$ in terms of $\angle A$

大提示：

四个角的和为 $360^\circ$ 。

The four angles sum to $360^\circ$

解答：

设 $x=\angle A$ 。则 $\angle B=\dfrac{x}{2}$ ， $\angle C=\dfrac{x}{3}$ ， $\angle D=\dfrac{x}{4}$ 。

四边形内角和为 $360^\circ$ ，所以 $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=\dfrac{25x}{12}=360$ 。

因此 $x=\dfrac{12\cdot 360}{25}=172.8\approx 173$ 。

所以正确答案是 D。

Let $x=\angle A.$ Then $\angle B=\dfrac{x}{2},$ $\angle C=\dfrac{x}{3},$ and $\angle D=\dfrac{x}{4}.$

The angles sum to $360^\circ,$ so $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=\dfrac{25x}{12}=360.$

Thus $x=\dfrac{12\cdot 360}{25}=172.8\approx 173.$

Thus, the correct answer is D.

16.

一位老师给一个班考试，其中 $10\%$ 的学生是低年级生， $90\%$ 是高年级生。考试平均分为 $84$ 。低年级生都得了同一个分数，高年级生平均分为 $83$ 。每个低年级生得了多少分？

A teacher gave a test to a class in which $10\%$ of the students are juniors and $90\%$ are seniors. The average score on the test was $84.$ The juniors all received the same score, and the average score of the seniors was $83.$ What score did each of the juniors receive on the test?

$85$

$88$

$93$

$94$

$98$

知识点：平均数比与比例

难度评级：1330

小提示：

取一个方便的班级人数，例如 $10$ 名学生。

Take a convenient class size, such as $10$ students

大提示：

若有一名低年级生和九名高年级生，则 $10\cdot 84 = 9\cdot 83 + s$ 。

With one junior and nine seniors, $10\cdot 84 = 9\cdot 83 + s$

解答：

假设班上有 $10$ 名学生：一名低年级生和九名高年级生。总分为 $10\cdot 84=840$ 。

九名高年级生总分为 $9\cdot 83=747$ ，所以低年级生的分数为 $s=840-747=93$ 。

所以正确答案是 C。

Suppose the class has $10$ students: one junior and nine seniors. The total of all scores is $10\cdot 84=840.$

The nine seniors total $9\cdot 83=747,$ so the junior’s score is $s=840-747=93.$

Thus, the correct answer is C.

17.

点 $P$ 在等边三角形 $\triangle ABC$ 内部。点 $Q$ ， $R$ 和 $S$ 分别是从 $P$ 到 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CA}$ 的垂足。已知 $PQ = 1$ 、 $PR = 2$ 、 $PS = 3$ ， $AB$ 是多少？

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q,$ $R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ = 1,$ $PR = 2,$ and $PS = 3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt3$

$6$

$4\sqrt3$

$9$

知识点：等边三角形面积分割三角形面积

难度评级：1640

小提示：

连接 $P$ 与三个顶点，将 $\triangle ABC$ 分成三个较小三角形。

Connect $P$ to the three vertices to split $\triangle ABC$ into three smaller triangles

大提示：

它们的面积为 $\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}$ ；令和等于 $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 。

Their areas are $\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}$ ; set the sum equal to $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$

解答：

设边长为 $s$ 。从 $P$ 作出的垂线是三角形 $APB$ 、 $BPC$ 、 $CPA$ 的高，所以它们的面积分别为 $\dfrac{s}{2}$ 、 $s$ 、 $\dfrac{3s}{2}$ 。

面积和等于 $\triangle ABC$ 的面积 $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ ，因此 $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 。

正解为 $s=4\sqrt3$ 。

所以正确答案是 D。

Let the side length be $s.$ The perpendiculars from $P$ are the heights of triangles $APB,$ $BPC,$ and $CPA,$ so their areas are $\dfrac{s}{2},$ $s,$ and $\dfrac{3s}{2}.$

Their sum equals the area of $\triangle ABC,$ which is also $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$ Hence $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$

The positive solution is $s=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

18.

如图，一个半径为 $1$ 的圆被 $4$ 个半径为 $r$ 的圆围住。 $r$ 是多少？

A circle of radius $1$ is surrounded by $4$ circles of radius $r$ as shown. What is $r?$

$\sqrt2$

$1+\sqrt2$

$\sqrt6$

$3$

$2+\sqrt2$

知识点：相切圆正方形（几何）二次方程

难度评级：1680

小提示：

连接四个外圆的圆心，形成一个正方形。

Connect the centers of the four outer circles to form a square

大提示：

这个正方形边长为 $2r$ ，对角线为 $2+2r$ 。

The square has side $2r$ and diagonal $2+2r$

解答：

连接四个外圆的圆心形成正方形。相邻外圆相切，所以每条边长为 $2r$ 。

正方形对角线经过中心圆的圆心，长度为 $1+r+r+1=2+2r$ 。边长为 $2r$ 的正方形对角线为 $2r\sqrt2$ ，所以 $2(2r)^2=(2+2r)^2$ 。

展开得 $1+2r+r^2=2r^2$ ，即 $r^2-2r-1=0$ 。正根为 $r=1+\sqrt2$ 。

所以正确答案是 B。

Connect the centers of the four outer circles to form a square. Adjacent outer circles are tangent, so each side has length $2r.$

The diagonal of the square passes through the center of the central circle, giving length $1+r+r+1=2+2r.$ Since a square with side $2r$ has diagonal $2r\sqrt2,$ we get $2(2r)^2=(2+2r)^2.$

Expanding gives $1+2r+r^2=2r^2,$ so $r^2-2r-1=0.$ The positive root is $r=1+\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

19.

如图所示的转盘旋转两次，指针指向的随机数字被记录。第一个数字除以 $4$ ，第二个数字除以 $5$ 。第一个余数指定棋盘的一列，第二个余数指定一行。这个数对指定到阴影方格的概率是多少？

The wheel shown is spun twice, and the randomly determined numbers opposite the pointer are recorded. The first number is divided by $4,$ and the second number is divided by $5.$ The first remainder designates a column, and the second remainder designates a row on the checkerboard shown. What is the probability that the pair of numbers designates a shaded square?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

知识点：基本概率奇偶性模运算

难度评级：1490

小提示：

方格为阴影当且仅当两个余数奇偶性相同。

A square is shaded exactly when the two remainders have the same parity

大提示：

求每个余数为偶数的概率，再合并同为偶数和同为奇数两种情况。

Find the probability each remainder is even, then combine the both-even and both-odd cases

解答：

阴影方格对应两个余数同奇或同偶。第一个余数为偶数（来自数字 $2$ 和 $6$ ）的概率为 $\dfrac13$ ，为奇数的概率为 $\dfrac23$ 。

第二个余数为偶数的概率为 $\dfrac12$ ，为奇数的概率为 $\dfrac12$ 。

它们奇偶性相同的概率为 $\dfrac13\cdot\dfrac12+\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac12$ 。

所以正确答案是 C。

The shaded squares are those where the two remainders are both odd or both even. The first remainder is even (from the numbers $2$ and $6$ ) with probability $\dfrac13$ and odd with probability $\dfrac23.$

The second remainder is even with probability $\dfrac12$ and odd with probability $\dfrac12.$

The probability that they share parity is $\dfrac13\cdot\dfrac12+\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is C.

20.

$25$ 个正方形方块排成一个 $5\times 5$ 的正方形。从中选出 $3$ 个方块，且任意两个不在同一行或同一列，有多少种不同选择？

A set of $25$ square blocks is arranged into a $5\times 5$ square. How many different combinations of $3$ blocks can be selected from that set so that no two are in the same row or column?

$100$

$125$

$600$

$2300$

$3600$

知识点：组合排列有限制的排列

难度评级：1700

小提示：

先选择使用哪 $3$ 行和哪 $3$ 列。

Choose which $3$ rows and which $3$ columns are used

大提示：

选好 $3$ 行和 $3$ 列后，方块对应这些行和列之间的一个匹配。

After picking $3$ rows and $3$ columns, the blocks correspond to a matching between them

解答：

选择 $5$ 行中的 $3$ 行有 $\binom{5}{3}=10$ 种，选择 $5$ 列中的 $3$ 列也有 $\binom{5}{3}=10$ 种。

三个选出的方块必须占据不同的行和列，所以它们是在三行与三列之间建立一个匹配，共有 $3!=6$ 种。

总数为 $10\cdot 10\cdot 6=600$ 。

所以正确答案是 C。

Choose $3$ of the $5$ rows in $\binom{5}{3}=10$ ways and $3$ of the $5$ columns in $\binom{5}{3}=10$ ways.

The three chosen blocks must occupy distinct rows and columns, so they form a matching between the three rows and three columns, which can be done in $3!=6$ ways.

The total is $10\cdot 10\cdot 6=600.$

Thus, the correct answer is C.

21.

直角三角形 $\triangle ABC$ 中， $AB=3$ 、 $BC=4$ 、 $AC=5$ 。正方形 $XYZW$ 内接于 $\triangle ABC$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 在 $\overline{AC}$ 上， $W$ 在 $\overline{AB}$ 上， $Z$ 在 $\overline{BC}$ 上。正方形的边长是多少？

Right $\triangle ABC$ has $AB=3,$ $BC=4,$ and $AC=5.$ Square $XYZW$ is inscribed in $\triangle ABC$ with $X$ and $Y$ on $\overline{AC},$ $W$ on $\overline{AB},$ and $Z$ on $\overline{BC}.$ What is the side length of the square?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{60}{37}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{23}{13}$

$2$

知识点：相似直角三角形高线

难度评级：1720

小提示：

求从 $B$ 到斜边 $AC$ 的高。

Find the altitude from $B$ to the hypotenuse $AC$

大提示：

利用整个三角形与正方形上方小三角形的相似关系。

Use the similarity between the whole triangle and the small triangle above the square

解答：

设正方形边长为 $s$ ，从 $B$ 到 $AC$ 的高为 $h$ 。则 $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}$ 。

正方形上方的小三角形与 $\triangle ABC$ 相似，并以正方形上边为底，因此 $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC}$ ，所以 $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}$ 。

代入可得 $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{\frac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}$ 。

所以正确答案是 B。

Let $s$ be the side of the square and $h$ the altitude from $B$ to $AC.$ Then $h=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}.$

The small triangle above the square is similar to $\triangle ABC$ with the square’s top side as its base, giving $\dfrac{h-s}{h}=\dfrac{s}{AC},$ so $s=\dfrac{AC\cdot h}{AC+h}.$

Substituting, $s=\dfrac{5\cdot\frac{12}{5}}{5+\frac{12}{5}}=\dfrac{12}{\frac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

玩家从 $1$ 到 $4$ 中选择一个数字。选好后，掷两个普通四面骰，每个骰子的面标有 $1$ 到 $4$ 。如果选中的数字恰好出现在一个骰子的底面，玩家赢得 $\$1$ ；如果它出现在两个骰子的底面，玩家赢得 $\$2$ ；如果它没有出现在任何骰子的底面，玩家损失 $\$1$ 。每次掷骰玩家的期望收益是多少美元？

A player chooses one of the numbers $1$ through $4.$ After the choice has been made, two regular four-sided (tetrahedral) dice are rolled, with the sides of the dice numbered $1$ through $4.$ If the number chosen appears on the bottom of exactly one die after it is rolled, then the player wins $\$1.$ If the number chosen appears on the bottom of both of the dice, then the player wins $\$2.$ If the number chosen does not appear on the bottom of either of the dice, the player loses $\$1.$ What is the expected return to the player, in dollars, for one roll of the dice?

$-\dfrac{1}{8}$

$-\dfrac{1}{16}$

$0$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{8}$

知识点：期望值二项概率骰子（概率）

难度评级：1780

小提示：

每个骰子底面独立地出现所选数字的概率为 $\dfrac14$ 。

Each die independently shows the chosen number on the bottom with probability $\dfrac14$

大提示：

分别用收益 $-1$ 、 $+1$ 、 $+2$ 乘以出现 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 次的概率。

Weight the payoffs $-1,$ $+1,$ and $+2$ by the probabilities of $0,$ $1,$ and $2$ matches

解答：

每个骰子底面出现所选数字的概率为 $\dfrac14$ 。所以该数字出现 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 次的概率分别为 $P(0)=\dfrac{9}{16},\$ $P(1)=\dfrac{6}{16},\$ $P(2)=\dfrac{1}{16}$ 。

期望收益为 $(-1)\cdot\dfrac{9}{16}$ $+(1)\cdot\dfrac{6}{16}$ $+(2)\cdot\dfrac{1}{16}$ $=\dfrac{-9+6+2}{16}$ $=-\dfrac{1}{16}$ 。

所以正确答案是 B。

Each die shows the chosen number on the bottom with probability $\dfrac14.$ So the number appears $0,$ $1,$ or $2$ times with probabilities $P(0)=\dfrac{9}{16},\$ $P(1)=\dfrac{6}{16},\$ $P(2)=\dfrac{1}{16}.$

The expected return is $(-1)\cdot\dfrac{9}{16}$ $+(1)\cdot\dfrac{6}{16}$ $+(2)\cdot\dfrac{1}{16}$ $=\dfrac{-9+6+2}{16}$ $=-\dfrac{1}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

23.

一个底面为正方形的棱锥被一个平行于底面、且距底面 $2$ 个单位的平面切开。切下来的上方小棱锥的表面积是原棱锥表面积的一半。原棱锥的高是多少？

A pyramid with a square base is cut by a plane that is parallel to its base and is $2$ units from the base. The surface area of the smaller pyramid that is cut from the top is half the surface area of the original pyramid. What is the altitude of the original pyramid?

$2$

$2+\sqrt2$

$1+2\sqrt2$

$4$

$4+2\sqrt2$

知识点：长度、面积与体积的缩放关系棱锥表面积

难度评级：1880

小提示：

小棱锥与原棱锥相似。

The smaller pyramid is similar to the original

大提示：

表面积之比是高之比的平方，所以 $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2$ 。

The ratio of surface areas is the square of the ratio of altitudes, so $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2$

解答：

设原棱锥高为 $h$ ，小棱锥高为 $h-2$ 。

两个棱锥相似，所以表面积之比等于高之比的平方。小棱锥表面积为原来的一半，因此 $\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12$ ，从而 $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2$ 。

于是 $h=\sqrt2(h-2)$ ，所以 $h(\sqrt2-1)=2\sqrt2$ ， $h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2$ 。

所以正确答案是 E。

Let $h$ be the altitude of the original pyramid; the smaller pyramid has altitude $h-2.$ The two pyramids are similar, so the ratio of their surface areas is the square of the ratio of their altitudes.

The smaller surface area is half the original, so $\left(\dfrac{h-2}{h}\right)^2=\dfrac12,$ giving $\dfrac{h}{h-2}=\sqrt2.$

Then $h=\sqrt2(h-2),$ so $h(\sqrt2-1)=2\sqrt2$ and $h=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2-1}=4+2\sqrt2.$

Thus, the correct answer is E.

24.

令 $n$ 表示最小的正整数，它能同时被 $4$ 和 $9$ 整除，且 $10$ 进制表示只由数字 $4$ 和 $9$ 组成，并且两种数字至少各出现一次。 $n$ 的最后四位数字是什么？

Let $n$ denote the smallest positive integer that is divisible by both $4$ and $9,$ and whose base- $10$ representation consists of only $4$ ’s and $9$ ’s, with at least one of each. What are the last four digits of $n?$

$4444$

$4494$

$4944$

$9444$

$9944$

知识点：整除性数字最优化

难度评级：1980

小提示：

被 $9$ 整除限制数字和；被 $4$ 整除限制最后两位。

Divisibility by $9$ constrains the digit sum; divisibility by $4$ constrains the last two digits

大提示：

数字和迫使至少有九个 $4$ ，且最后两位必须都是 $4$ 。

The digit sum forces at least nine $4$ ’s, and the last two digits must both be $4$

解答：

因为 $n$ 能被 $9$ 整除，其数字和是 $9$ 的倍数。若四这个数字出现 $k$ 次，九这个数字出现 $m$ 次，则数字和为 $4k+9m$ ，所以 $4k$ 能被 $9$ 整除，迫使 $k$ 也能被 $9$ 整除。因此 $k\ge 9$ ，并且至少有一个 $9$ ，这个数至少有十位。

要被 $4$ 整除，最后两位必须组成 $4$ 的倍数。在 $44$ 、 $49$ 、 $94$ 、 $99$ 中，只有 $44$ 可行，所以 $n$ 以 $44$ 结尾。

最小的这样十位数把唯一的 $9$ 放在最低的可用数位上，得到 $4{,}444{,}444{,}944$ ，最后四位是 $4944$ 。

所以正确答案是 C。

Since $n$ is divisible by $9,$ its digit sum is a multiple of $9.$ With $k$ fours and $m$ nines, the digit sum is $4k+9m,$ so $4k$ is divisible by $9,$ forcing $k$ to be divisible by $9.$ Thus $k\ge 9,$ and with at least one $9,$ the number has at least ten digits.

For divisibility by $4,$ the last two digits must form a multiple of $4,$ and among $44,$ $49,$ $94,$ and $99$ only $44$ works, so $n$ ends in $44.$

The smallest such ten-digit number places the single $9$ in the lowest available position, giving $4{,}444{,}444{,}944.$ Its last four digits are $4944.$

Thus, the correct answer is C.

25.

有多少对正整数 $(a,b)$ 满足： $a$ 和 $b$ 没有大于 $1$ 的公因数，并且

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

是整数？

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $a$ and $b$ have no common factors greater than $1$ and

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

is an integer?

$4$

$6$

$9$

$12$

无穷多

infinitely many

知识点：整除性最大公约数丢番图方程

难度评级：2170

小提示：

合并成一个分式 $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ ，并使用 $\gcd(a,b)=1$ 。

Combine into the single fraction $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ and use $\gcd(a,b)=1$

大提示：

推出 $14$ 能被 $a$ 整除，且 $9$ 能被 $b$ 整除，再测试有限个数对。

Deduce that $14$ is divisible by $a$ and $9$ is divisible by $b,$ then test the finitely many pairs

解答：

合并后，表达式为 $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ 。若它是整数，则 $a$ 必须整除 $9a^2+14b^2$ ，因此 $14b^2$ 能被 $a$ 整除。由于 $\gcd(a,b)=1$ ，得 $14$ 能被 $a$ 整除。同理 $9a^2$ 能被 $b$ 整除，所以 $9$ 能被 $b$ 整除。

所以 $a\in\{1,2,7,14\}$ ， $b\in\{1,3,9\}$ 。检查这些情况，只有 $b=3$ 时对每个允许的 $a$ 都得到整数。

有效数对为 $(1,3)$ 、 $(2,3)$ 、 $(7,3)$ 、 $(14,3)$ ，共 $4$ 对。

所以正确答案是 A。

Combining, the expression is $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}.$ For this to be an integer, $a$ must divide $9a^2+14b^2,$ hence $14b^2$ is divisible by $a.$ Since $\gcd(a,b)=1,$ we get that $14$ is divisible by $a.$ Similarly, $9a^2$ is divisible by $b,$ so $9$ is divisible by $b.$

So $a\in\{1,2,7,14\}$ and $b\in\{1,3,9\}.$ Checking these, only $b=3$ makes the expression an integer for each allowed $a.$

The valid pairs are $(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ and $(14,3),$ for a total of $4.$

Thus, the correct answer is A.