Question

在直角三角形 $\triangle ABC$ 中，直角在 $C$ ，点 $D$ 位于线段 $\overline{AB}$ 内部，点 $E$ 位于线段 $\overline{BC}$ 内部，满足 $AC=CD$ 、 $DE=EB$ ，且 $AC:DE=4:3$ 。求 $AD:DB$ 。

In $\triangle ABC$ with a right angle at $C,$ point $D$ lies in the interior of $\overline{AB}$ and point $E$ lies in the interior of $\overline{BC}$ so that $AC=CD,$ $DE=EB,$ and the ratio $AC:DE=4:3.$ What is the ratio $AD:DB?$

$2:3$

$2:\sqrt{5}$

$1:1$

$3:\sqrt{5}$

$3:2$

答案：A

知识点：导角等腰三角形三角学

难度评级：1890

小提示：

按比例放大或缩小，使 $AC=CD=4$ ， $DE=EB=3$ 。

Scale so $AC=CD=4$ and $DE=EB=3$

大提示：

利用等腰三角形角度证明 $\angle EDC=90^\circ$ 。

Use isosceles angles to show $\angle EDC=90^\circ$

解答：

缩放图形，使 $AC=CD=4$ ，且 $DE=EB=3$ 。设 $A=\angle BAC$ 、 $B=\angle ABC$ ，所以 $A+B=90^\circ$ 。

等腰三角形 $ACD$ 和 $DEB$ 给出 $\angle CDA=A$ 和 $\angle EDB=B$ 。因为 $DA$ 与 $DB$ 是反向射线， $\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ\text{。}$ 因此 $CE=\sqrt{4^2+3^2}=5$ ，所以 $BC=CE+EB=8$ ，且 $\tan A=\frac{BC}{AC}=2$ 。

两个等腰三角形的底边长分别为 $AD=8\cos A$ 和 $BD=6\cos B=6\sin A$ 。所以 $\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23\text{。}$

所以答案是 A。

Scale the figure so that $AC=CD=4$ and $DE=EB=3$ . Let $A=\angle BAC$ and $B=\angle ABC$ , so $A+B=90^\circ$ .

The isosceles triangles $ACD$ and $DEB$ give $\angle CDA=A$ and $\angle EDB=B$ . Because $DA$ and $DB$ are opposite rays, $\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ.$ Therefore $CE=\sqrt{4^2+3^2}=5$ , so $BC=CE+EB=8$ and $\tan A=\frac{BC}{AC}=2$ .

The bases of the two isosceles triangles have lengths $AD=8\cos A$ and $BD=6\cos B=6\sin A$ . Hence $\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B 第 16 题

答案：A

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题