Question

一个边长为 $1$ 的正方形和一个半径为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 的圆有相同圆心。圆内但正方形外的面积是多少？

A square of side length $1$ and a circle of radius $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ share the same center. What is the area inside the circle, but outside the square?

$\dfrac{\pi}{3}-1$

$\dfrac{2\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\pi}{18}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2\pi}{9}$

答案：B

知识点：圆面积扇形特殊直角三角形面积分割

难度评级：1790

小提示：

找出圆与正方形一边的交点。

Find where the circle cuts one side of the square

大提示：

每条边贡献一个位于正方形外的圆弓形区域。

One side contributes a circular segment outside the square

解答：

从 $O$ 向 $\overline{AB}$ 作高，垂足为 $X$ 。

由边长关系， $\triangle OBX$ 是 $30-60-90$ 特殊直角三角形。

扇形 $AOB$ 的面积为 $\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}\text{。}$

$\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}\text{。}$

因此该边外、圆内的一个圆弓形面积为 $\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\text{。}$

这样的区域有 $4$ 个，总面积为 $4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Drop the altitude from $O$ to $\overline{AB}$ at $X.$

Looking at the side lengths, we see that $\triangle OBX$ is a $30-60-90$ triangle.

This means that the area of sector $AOB$ is $\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}.$

We also have that the area of $\triangle AOB$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}.$

The area of the sector outside the square and inside the circle is then $\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}.$

There are $4$ of these regions, which gives us a total area of $4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}.$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B 第 16 题

答案：B

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题