Question

在 $\triangle ABC$ 中，中线 $AD$ 和 $CE$ 交于 $P$ ，且 $PE=1.5$ 、 $PD=2$ 、 $DE=2.5$ 。四边形 $AEDC$ 的面积是多少？

In triangle $\triangle ABC,$ medians $AD$ and $CE$ intersect at $P,$ $PE=1.5,$ $PD=2,$ and $DE=2.5.$ What is the area of $AEDC?$

$13$

$13.5$

$14$

$14.5$

$15$

在两条中线上使用重心的二比一比例。

Use the centroid ratio on both medians

$1.5,2,2.5$ 构成直角三角形。

The $1.5,2,2.5$ triangle is right

因为 $PE:PD:DE=1.5:2:2.5$ $=3:4:5$ ，所以三角形 $DPE$ 在 $P$ 处为直角，即两条中线 $AD$ 和 $CE$ 互相垂直。

重心把每条中线按 $2:1$ 分割，所以 $CE=3\cdot PE=4.5$ ， $AD=3\cdot PD=6$ 。

四边形 $AEDC$ 的对角线 $AD$ 与 $CE$ 垂直，面积为 $\frac12(AD)(CE)=\frac12\cdot6\cdot4.5=13.5$ 。

所以正确答案是 B。

Since $PE:PD:DE=1.5:2:2.5$ $=3:4:5$ , triangle $DPE$ is right at $P$ . Thus medians $AD$ and $CE$ are perpendicular.

The centroid divides each median in a $2:1$ ratio, so $CE=3\cdot PE=4.5$ and $AD=3\cdot PD=6$ .

Quadrilateral $AEDC$ has perpendicular diagonals $AD$ and $CE$ , so its area is $\frac12(AD)(CE)=\frac12\cdot6\cdot4.5=13.5$ .

Thus, the correct answer is B .