Question

点 $A$ 和 $C$ 在以 $O$ 为圆心的圆上， $\overline{BA}$ 和 $\overline{BC}$ 都与该圆相切，并且 $\triangle ABC$ 是等边三角形。圆与 $\overline{BO}$ 交于 $D$ 。求 $\dfrac{BD}{BO}$ 的值。

Points $A$ and $C$ lie on a circle centered at $O,$ each of $\overline{BA}$ and $\overline{BC}$ are tangent to the circle, and $\triangle ABC$ is equilateral. The circle intersects $\overline{BO}$ at $D.$ What is $\dfrac{BD}{BO}?$

$\dfrac{\sqrt2}{3}$

$\dfrac12$

$\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

答案：B

知识点：切线特殊直角三角形圆

难度评级：1420

小提示：

等边三角形 $\triangle ABC$ 给出 $\angle OBC=30^\circ$ ，且 $OC\perp BC$ 。

Equilateral $\triangle ABC$ gives $\angle OBC=30^\circ,$ and $OC\perp BC$

大提示：

在 $30$ - $60$ - $90$ 三角形中，斜边 $BO=2\,OC$ 。

In a $30$ - $60$ - $90$ triangle the hypotenuse $BO=2\,OC$

解答：

设半径为 $r$ 。由对称性， $BO$ 平分 $60^\circ$ 角 $ABC$ ，所以 $\angle OBC=30^\circ$ 。又 $OC\perp BC$ ，三角形 $BCO$ 是 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，斜边 $BO=2\,OC=2r$ 。

于是 $BD=BO-OD=2r-r=r$ ，所以 $\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12$ 。

所以正确答案是 B。

Let the radius be $r.$ By symmetry $BO$ bisects the $60^\circ$ angle $ABC,$ so $\angle OBC=30^\circ.$ Since $OC\perp BC,$ triangle $BCO$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle with hypotenuse $BO=2\,OC=2r.$

Then $BD=BO-OD=2r-r=r,$ so $\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10B 第 16 题

答案：B

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题