Question

¿Cuántos pares ordenados $(x,y)$ de números reales satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? $\begin{align*} x^2+3y&=9 \\ (|x|+|y|-4)^2 &= 1 \end{align*}$

How many ordered pairs $(x,y)$ of real numbers satisfy the following system of equations? $\begin{align*} x^2+3y&=9 \\ (|x|+|y|-4)^2 &= 1 \end{align*}$

$1$

$2$

$3$

$5$

$7$

Solución:

La segunda ecuación da $|x|+|y|-4=\pm1$ , así que $|x|+|y|=3$ o $|x|+|y|=5$ . Además, la primera ecuación da $y=3-\frac{x^2}{3}$ .

Si $|x|+|y|=3$ y $y\ge0$ , entonces $|x|+y=3$ . Para $x\ge0$ , esto da $x+3-\frac{x^2}{3}=3$ , así que $x=0,3$ . Para $x\le0$ , da $-x+3-\frac{x^2}{3}=3$ , así que $x=0,-3$ . Estos dan $3$ puntos distintos.

Si $|x|+|y|=3$ y $y\lt0$ , entonces $|x|-y=3$ . Para $x\ge0$ , $x-3+\frac{x^2}{3}=3$ , así que $x=3$ , que tiene $y=0$ , no $y\lt0$ . El caso $x\le0$ de manera similar solo da $x=-3$ , también ya contado.

Si $|x|+|y|=5$ y $y\ge0$ , entonces $|x|+3-\frac{x^2}{3}=5$ , que no tiene solución real en los rangos de signo requeridos. Si $y\lt0$ , entonces $|x|-3+\frac{x^2}{3}=5$ . Esto da $x=4$ para $x\ge0$ y $x=-4$ para $x\le0$ , produciendo $2$ puntos más.

El número total de pares ordenados es $3+2=5$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The second equation gives $|x|+|y|-4=\pm1$ , so $|x|+|y|=3$ or $|x|+|y|=5$ . Also the first equation gives $y=3-\frac{x^2}{3}$ .

If $|x|+|y|=3$ and $y\ge0$ , then $|x|+y=3$ . For $x\ge0$ , this gives $x+3-\frac{x^2}{3}=3$ , so $x=0,3$ . For $x\le0$ , it gives $-x+3-\frac{x^2}{3}=3$ , so $x=0,-3$ . These give $3$ distinct points.

If $|x|+|y|=3$ and $y\lt0$ , then $|x|-y=3$ . For $x\ge0$ , $x-3+\frac{x^2}{3}=3$ , so $x=3$ , which has $y=0$ , not $y\lt0$ . The case $x\le0$ similarly only gives $x=-3$ , also already counted.

If $|x|+|y|=5$ and $y\ge0$ , then $|x|+3-\frac{x^2}{3}=5$ , which has no real solution in the required sign ranges. If $y\lt0$ , then $|x|-3+\frac{x^2}{3}=5$ . This gives $x=4$ for $x\ge0$ and $x=-4$ for $x\le0$ , producing $2$ more points.

The total number of ordered pairs is $3+2=5$ .

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años