Question

Todas las raíces del polinomio $z^6-10z^5+Az^4+Bz^3$ $+Cz^2+Dz+16$ son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de $B$ ?

All the roots of the polynomial $z^6-10z^5+Az^4+Bz^3$ $+Cz^2+Dz+16$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B?$

$-88$

$-80$

$-64$

$-41$

$-40$

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Por las fórmulas de Vieta, obtenemos que el producto de las raíces es $16$ y que su suma es $10$ .

Dado que todas las raíces son enteros positivos, podemos ver que las raíces son $1, 1, 2, 2, 2, 2.$

Por lo tanto, el polinomio es $(z - 1)^2(z - 2)^4 = (z^2 - 2z + 1)$ $(z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16).$

Calculando solo el término $z^3$ , obtenemos $-32z^3 - 48z^3 - 8z^3 = -88z^3.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

By Vieta's formulas, we get that the product of the roots is $16$ and that their sum is $10.$

Given that all the roots are positive integers, we can see that the roots are $1, 1, 2, 2, 2, 2.$

The polynomial is therefore $(z - 1)^2(z - 2)^4 = (z^2 - 2z + 1)$ $(z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16).$

Calculating just the $z^3$ term, we get $-32z^3 - 48z^3 - 8z^3 = -88z^3.$

Thus, A is the correct answer.