Question

Las intersecciones con el eje $y$ , $P$ y $Q,$ de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto $A(6,8)$ suman cero. ¿Cuál es el área del $\triangle APQ$ ?

The $y$ -intercepts, $P$ and $Q,$ of two perpendicular lines intersecting at the point $A(6,8)$ have a sum of zero. What is the area of $\triangle APQ?$

$45$

$48$

$54$

$60$

$72$

Solución:

Las intersecciones con el eje $y$ están a igual distancia del origen, ya que sus valores suman $0.$

Sea esta distancia $z.$ También, la distancia de $A$ al origen es $z$ , pues es la mediana hacia el punto medio de la hipotenusa.

Por la fórmula de la distancia sabemos que $z = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ . La altura desde $A$ hasta $\overline{PQ}$ es $6$ (es simplemente el valor $x$ de $A$ ).

También sabemos que $PQ = 2 \cdot 10 = 20,$ lo que nos dice que el área es $[APQ] = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 20 = 60.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We have that the $y$ -intercepts are an equal distance from the origin since their values sum to $0.$

Let this distance be $z.$ We also have that that the distance from $A$ to the origin is $z$ since it is the median to the midpoint of the hypotenuse.

We then know that $z = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ by the distance formula. We know the altitude from $A$ to $\overline{PQ}$ is $6$ (it is just the $x$ -value of $A$ ).

We also know that $PQ = 2 \cdot 10 = 20,$ which tells us that the area $[APQ] = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 20 = 60.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años