Question

El

\triangle ABC

equilátero tiene lado

1,

y los cuadrados

ABDE,

BCHI,

CAFG

están fuera del triángulo. ¿Cuál es el área del hexágono

DEFGHI

?

Equilateral

\triangle ABC

has side length

1,

and squares

ABDE,

BCHI,

CAFG

lie outside the triangle. What is the area of hexagon

DEFGHI?

\dfrac{12+3\sqrt3}4

\dfrac92

3+\sqrt3

\dfrac{6+3\sqrt3}2

6

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Descompón el hexágono en el triángulo original, tres cuadrados y tres triángulos exteriores.

Decompose the hexagon into the original triangle, three squares, and three outer triangles

Pista grande:

Cada triángulo exterior tiene lados

1,1

con ángulo comprendido

120^\circ

.

Each outer triangle has sides

1,1

with included angle

120^\circ

Solución:

Podemos calcular las áreas de todas las piezas y luego sumarlas.

El área del triángulo equilátero central es

\dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.

El área total de todos los cuadrados es

3 \cdot 1^2 = 3.

También tenemos que

\angle EAF = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 2 \cdot 90^{\circ}

= 120^{\circ}.

Además,

AE=AF=1

y

\angle EAF=120^\circ

. Al trazar la altura desde

A

, vemos que

EF=\sqrt3

y que la altura es

\frac12

, por lo que

[EAF]=\frac{\sqrt3}{4}

. Los otros dos triángulos exteriores tienen la misma área. Así, su área combinada es

\frac{3\sqrt3}{4}

.

El área total es

\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + 3 = 3 + \sqrt{3}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can find the areas of all the individual pieces and then add them up together.

The area of the center equilateral triangle is

\dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.

We have that the areas of all the squares is

3 \cdot 1^2 = 3.

We also have that

\angle EAF = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 2 \cdot 90^{\circ}

= 120^{\circ}.

Also,

AE=AF=1

and

\angle EAF=120^\circ

. Dropping the altitude from

A

shows that

EF=\sqrt3

and the altitude is

\frac12

, so

[EAF]=\frac{\sqrt3}{4}

. The other two outer triangles have the same area. Thus their combined area is

\frac{3\sqrt3}{4}

.

The total area is then

\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + 3 = 3 + \sqrt{3}.

Thus, C is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años