Question

El $\triangle ABC$ equilátero tiene lado $1,$ y los cuadrados $ABDE,$ $BCHI,$ $CAFG$ están fuera del triángulo. ¿Cuál es el área del hexágono $DEFGHI$ ?

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $1,$ and squares $ABDE,$ $BCHI,$ $CAFG$ lie outside the triangle. What is the area of hexagon $DEFGHI?$

$\dfrac{12+3\sqrt3}4$

$\dfrac92$

$3+\sqrt3$

$\dfrac{6+3\sqrt3}2$

$6$

Solución:

Podemos hallar las áreas de todas las piezas individuales y luego sumarlas.

El área del triángulo equilátero central es $\dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

El área total de todos los cuadrados es $3 \cdot 1^2 = 3.$

También tenemos que $\angle EAF = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 2 \cdot 90^{\circ}$ $= 120^{\circ}.$

Además, $\triangle EAF$ es isósceles, lo que significa que podemos reacomodar el triángulo cortándolo por la mitad y recombinándolo en un triángulo equilátero.

Así, el área de los tres triángulos es $3 \cdot \dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}.$

El área total es entonces $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + 3 = 3 + \sqrt{3}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can find the areas of all the individual pieces and then add them up together.

The area of the center equilateral triangle is $\dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

We have that the areas of all the squares is $3 \cdot 1^2 = 3.$

We also have that $\angle EAF = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 2 \cdot 90^{\circ}$ $= 120^{\circ}.$

We also have that $\triangle EAF$ is isosceles, which means that we can rearrange the triangle by splitting it down the middle and recombining it into an equilateral triangle.

This means that the area of the three triangles is then $3 \cdot \dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}.$

The total area is then $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + 3 = 3 + \sqrt{3}.$

Thus, C is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años