Question

Los enteros positivos $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $x + y$ ?

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ What is the minimum possible value of $x + y?$

$585$

$595$

$623$

$700$

$791$

Solución:

Como $1183 = 7 \cdot 169 = 7 \cdot 13^2,$ tenemos $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Eleva al cuadrado $\sqrt x + \sqrt y = 13\sqrt7$ para obtener $x + y + 2\sqrt{xy} = 1183.$ Así que $\sqrt{xy}$ es racional, lo que obliga a que cada uno de $x, y$ sea $7$ veces un cuadrado perfecto: $x = 7a^2,$ $y = 7b^2$ con $a + b = 13.$ Ahora $x + y = 7(a^2 + b^2),$ mínimo cuando $a$ y $b$ son tan iguales como podamos hacerlos. Toma $a = 6,$ $b = 7$ para $7(36 + 49) = 595.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since $1183 = 7 \cdot 169 = 7 \cdot 13^2,$ we have $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Square $\sqrt x + \sqrt y = 13\sqrt7$ to get $x + y + 2\sqrt{xy} = 1183.$ So $\sqrt{xy}$ is rational, which forces each of $x, y$ to be $7$ times a perfect square: $x = 7a^2,$ $y = 7b^2$ with $a + b = 13.$ Now $x + y = 7(a^2 + b^2),$ smallest when $a$ and $b$ are as equal as we can make them. Take $a = 6,$ $b = 7$ for $7(36 + 49) = 595.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años