Question

Seis hexágonos regulares rodean un hexágono regular de lado $1$ , como se muestra. ¿Cuál es el área de $\triangle{ABC}$ ?

Six regular hexagons surround a regular hexagon of side length $1$ as shown. What is the area of $\triangle{ABC}?$ \t\t

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$1+3\sqrt{2}$

$2+2\sqrt{3}$

$3+2\sqrt{3}$

Solución:

Como $AB = BC = AC$ por simetría rotacional, sabemos que es un triángulo equilátero.

Entonces, un cuarto de $AB$ se puede hallar como el cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$ opuesto al ángulo de $60^{\circ}$ , lo que da $\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt 3}2.$

Por lo tanto, $AB = 4\cdot \dfrac{\sqrt 3}2 = 2\sqrt 3.$

Entonces, como es un triángulo equilátero, tiene área $\dfrac{s^2 \sqrt 3}4 = \dfrac{12\sqrt 3}4 = 3 \sqrt 3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Since $AB = BC = AC$ by rotational symmetry, we know it is an equilateral triangle.

Then, one-fourth of $AB$ can be found as a the leg of a right triangle with hypotenuse $1$ and is opposite to the $60^{\circ}$ angle, making it $\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt 3}2.$

As such, $AB = 4\cdot \dfrac{\sqrt 3}2 = 2\sqrt 3.$

Then, since it is an equilateral triangle, it has area $\dfrac{s^2 \sqrt 3}4 = \dfrac{12\sqrt 3}4 = 3 \sqrt 3.$

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años