Question

Seis hexágonos regulares rodean un hexágono regular de lado $1$ , como se muestra. ¿Cuál es el área de $\triangle{ABC}$ ?

Six regular hexagons surround a regular hexagon of side length $1$ as shown. What is the area of $\triangle{ABC}?$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$1+3\sqrt{2}$

$2+2\sqrt{3}$

$3+2\sqrt{3}$

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Usa los ángulos del hexágono regular para hallar el lado de $\triangle ABC$ .

Use the regular hexagon angles to find the side of $\triangle ABC$

Pista grande:

El triángulo resultante es equilátero.

The resulting triangle is equilateral

Solución:

Sigue la retícula de $60^\circ$ formada por los hexágonos unitarios y coloca $A=(0,0)$ . Los vértices marcados se pueden escribir entonces como $B=(3,\sqrt3)$ y $C=(3,-\sqrt3)$ .

Entonces $BC=2\sqrt3$ , y $\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\triangle ABC$ es equilátero, con área $\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Follow the $60^\circ$ grid formed by the unit hexagons and place $A=(0,0)$ . The marked vertices may then be written as $B=(3,\sqrt3)$ and $C=(3,-\sqrt3)$ .

Thus $BC=2\sqrt3$ , and $\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3. \end{aligned}$ Hence $\triangle ABC$ is equilateral, with area $\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años