Question

Una rana sentada en el punto $(1, 2)$ comienza una sucesión de saltos, donde cada salto es paralelo a uno de los ejes coordenados y tiene longitud $1,$ y la dirección de cada salto (arriba, abajo, derecha o izquierda) se elige de forma independiente al azar. La sucesión termina cuando la rana alcanza un lado del cuadrado con vértices $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ y $(4, 0).$ ¿Cuál es la probabilidad de que la sucesión de saltos termine en un lado vertical del cuadrado?

A frog sitting at the point $(1, 2)$ begins a sequence of jumps, where each jump is parallel to one of the coordinate axes and has length $1,$ and the direction of each jump (up, down, right, or left) is chosen independently at random. The sequence ends when the frog reaches a side of the square with vertices $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ and $(4, 0).$ What is the probability that the sequence of jumps ends on a vertical side of the square?

$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{5}{8}$

$\displaystyle \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{3}{4}$

$\displaystyle \frac{7}{8}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $p(x,y)$ la probabilidad de tocar finalmente primero un lado vertical desde el punto $(x,y)$ . Por simetría, define $a=p(1,1)=p(1,3)$ , $b=p(2,1)=p(2,3)$ , $c=p(1,2)$ y $d=p(2,2)$ .

Las ecuaciones de promedio son $a=\dfrac{1+b+c}{4}$ , $b=\dfrac{2a+d}{4}$ , $c=\dfrac{1+2a+d}{4}$ y $d=\dfrac{b+c}{2}$ . Al resolver se obtiene $c=\dfrac58$ , que es la probabilidad buscada desde $(1,2)$ . Así, B es la respuesta correcta.

Let $p(x,y)$ be the probability of eventually hitting a vertical side first from point $(x,y)$ . By symmetry, set $a=p(1,1)=p(1,3)$ , $b=p(2,1)=p(2,3)$ , $c=p(1,2)$ , and $d=p(2,2)$ .

The averaging equations are $a=\dfrac{1+b+c}{4}$ , $b=\dfrac{2a+d}{4}$ , $c=\dfrac{1+2a+d}{4}$ , and $d=\dfrac{b+c}{2}$ . Solving gives $c=\dfrac58$ , which is the desired probability from $(1,2)$ . Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 13

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 13 en otros años