Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles con $BC = AC$ y $\angle ACB = 40^{\circ}.$ Construye la circunferencia de diámetro $\overline{BC},$ y sean $D$ y $E$ los otros puntos de intersección de la circunferencia con los lados $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Sea $F$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero $BCDE.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BFC$ ?

Let $\triangle ABC$ be an isosceles triangle with $BC = AC$ and $\angle ACB = 40^{\circ}.$ Construct the circle with diameter $\overline{BC},$ and let $D$ and $E$ be the other intersection points of the circle with the sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. Let $F$ be the intersection of the diagonals of the quadrilateral $BCDE.$ What is the degree measure of $\angle BFC ?$

$90$

$100$

$105$

$110$

$120$

Respuesta: D

Conceptos:ángulo inscrito persecución de ángulos triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Los ángulos que subtienden un diámetro son ángulos rectos.

Angles subtended by a diameter are right angles

Pista grande:

Usa los ángulos del triángulo isósceles $\triangle ABC$ para perseguir los ángulos restantes.

Use the isosceles angles of $\triangle ABC$ to chase the remaining angles

Solución:

Como $\overline{BC}$ es el diámetro de la circunferencia, $\angle BDC$ y $\angle BEC$ son ángulos rectos.

Sabemos que $\angle ABC = 70^{\circ}$ por el hecho de que $\triangle ABC$ es isósceles.

En $\triangle BCE$ y $\triangle BCD$ , respectivamente, $\begin{aligned} \angle ECB&=180^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}\\ &=20^{\circ} \end{aligned}$ y $\begin{aligned} \angle DBC&=180^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}\\ &=50^{\circ}. \end{aligned}$

Como $F$ está sobre $BD$ y $CE$ , los otros dos ángulos de $\triangle BFC$ miden $50^{\circ}$ y $20^{\circ}$ . Por consiguiente $\begin{aligned} \angle BFC&=180^{\circ}-50^{\circ}-20^{\circ}\\ &=110^{\circ}. \end{aligned}$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $\overline{BC}$ is the diameter of the circle, we get that $\angle BDC$ and $\angle BEC$ are right angles.

We know that $\angle ABC = 70^{\circ}$ from the fact that $\triangle ABC$ is isosceles.

In $\triangle BCE$ and $\triangle BCD$ , respectively, $\begin{aligned} \angle ECB&=180^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}\\ &=20^{\circ} \end{aligned}$ and $\begin{aligned} \angle DBC&=180^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}\\ &=50^{\circ}. \end{aligned}$

Because $F$ lies on $BD$ and $CE$ , the other two angles of $\triangle BFC$ are $50^{\circ}$ and $20^{\circ}$ . Hence $\begin{aligned} \angle BFC&=180^{\circ}-50^{\circ}-20^{\circ}\\ &=110^{\circ}. \end{aligned}$ Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 13

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años