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2019 AMC 10A Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2019 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Sea △ABC\triangle ABC un triángulo isósceles con BC=ACBC = AC y ∠ACB=40∘.\angle ACB = 40^{\circ}. Construye la circunferencia de diámetro BC‾,\overline{BC}, y sean DD y EE los otros puntos de intersección de la circunferencia con los lados AC‾\overline{AC} y AB‾,\overline{AB}, respectivamente. Sea FF la intersección de las diagonales del cuadrilátero BCDE.BCDE. ¿Cuál es la medida en grados de ∠BFC\angle BFC?
Let △ABC\triangle ABC be an isosceles triangle with BC=ACBC = AC and ∠ACB=40∘.\angle ACB = 40^{\circ}. Construct the circle with diameter BC‾,\overline{BC}, and let DD and EE be the other intersection points of the circle with the sides AC‾\overline{AC} and AB‾,\overline{AB}, respectively. Let FF be the intersection of the diagonals of the quadrilateral BCDE.BCDE. What is the degree measure of ∠BFC?\angle BFC ?
9090
100100
105105
110110
120120
Respuesta: D
Conceptos:ángulo inscritopersecución de ángulostriángulo isósceles
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
Los ángulos que subtienden un diámetro son ángulos rectos.
Angles subtended by a diameter are right angles
Pista grande:
Usa los ángulos del triángulo isósceles △ABC\triangle ABC para perseguir los ángulos restantes.
Use the isosceles angles of △ABC\triangle ABC to chase the remaining angles
Solución:
Como BC‾\overline{BC} es el diámetro de la circunferencia, ∠BDC\angle BDC y ∠BEC\angle BEC son ángulos rectos.
Sabemos que ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^{\circ} por el hecho de que △ABC\triangle ABC es isósceles.
En △BCE\triangle BCE y △BCD\triangle BCD, respectivamente, ∠ECB=180∘−70∘−90∘=20∘ \begin{aligned} \angle ECB&=180^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}\\ &=20^{\circ} \end{aligned} y ∠DBC=180∘−40∘−90∘=50∘. \begin{aligned} \angle DBC&=180^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}\\ &=50^{\circ}. \end{aligned}
Como FF está sobre BDBD y CECE, los otros dos ángulos de △BFC\triangle BFC miden 50∘50^{\circ} y 20∘20^{\circ}. Por consiguiente ∠BFC=180∘−50∘−20∘=110∘. \begin{aligned} \angle BFC&=180^{\circ}-50^{\circ}-20^{\circ}\\ &=110^{\circ}. \end{aligned} Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Since BC‾\overline{BC} is the diameter of the circle, we get that ∠BDC\angle BDC and ∠BEC\angle BEC are right angles.
We know that ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^{\circ} from the fact that △ABC\triangle ABC is isosceles.
In △BCE\triangle BCE and △BCD\triangle BCD, respectively, ∠ECB=180∘−70∘−90∘=20∘ \begin{aligned} \angle ECB&=180^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}\\ &=20^{\circ} \end{aligned} and ∠DBC=180∘−40∘−90∘=50∘. \begin{aligned} \angle DBC&=180^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}\\ &=50^{\circ}. \end{aligned}
Because FF lies on BDBD and CECE, the other two angles of △BFC\triangle BFC are 50∘50^{\circ} and 20∘20^{\circ}. Hence ∠BFC=180∘−50∘−20∘=110∘. \begin{aligned} \angle BFC&=180^{\circ}-50^{\circ}-20^{\circ}\\ &=110^{\circ}. \end{aligned} Thus, D is the correct answer.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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