Question

Melanie calcula la media $\mu,$ la mediana $M$ y las modas de los $365$ valores que son las fechas de los meses de $2019.$ Así, sus datos constan de $12$ copias de $1,$ $12$ copias de $2,$ . . . , $12$ copias de $28,$ $11$ copias de $29,$ $11$ copias de $30$ y $7$ copias de $31.$ Sea $d$ la mediana de las modas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Melanie computes the mean $\mu,$ the median $M,$ and the modes of the $365$ values that are the dates in the months of $2019.$ Thus her data consist of $12$ copies of $1,$ $12$ copies of $2,$ . . . , $12$ copies of $28,$ $11$ copies of $29,$ $11$ copies of $30,$ and $7$ copies of $31.$ Let $d$ be the median of the modes. Which of the following statements is true?

$\mu \lt d \lt M$

$M \lt d \lt \mu$

$d = M =\mu$

$d \lt M \lt \mu$

$d \lt \mu \lt M$

Solución:

Las modas son todos los enteros del $1$ al $28,$ por lo que su mediana es $d=\dfrac{14+15}{2}=14.5.$

Hay $365$ entradas, así que $M$ es el $183$ o número. Las fechas del $1$ al $15$ ocupan $15 \cdot 12 = 180$ posiciones, por lo que $M=16.$

La suma de todas las fechas es $\begin{aligned}12(1+\cdots+28)&+11(29+30)\\&+7\cdot31=5738.\end{aligned}$ Por lo tanto, $\mu=\dfrac{5738}{365}\approx15.72.$

Por lo tanto, $d \lt \mu \lt M.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The modes are all the integers from $1$ through $28,$ so their median is $d=\dfrac{14+15}{2}=14.5.$

There are $365$ entries, so $M$ is the $183$ rd number. The dates from $1$ through $15$ occupy $15 \cdot 12 = 180$ positions, so $M=16.$

The sum of all dates is $\begin{aligned}12(1+\cdots+28)&+11(29+30)\\&+7\cdot31=5738.\end{aligned}$ Hence $\mu=\dfrac{5738}{365}\approx15.72.$

Therefore $d \lt \mu \lt M.$ Thus, E is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años