Question

Los puntos $(\sqrt{\pi}, a)$ y $(\sqrt{\pi}, b)$ son puntos distintos de la gráfica de la ecuación $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ ¿Cuál es el valor de $|a-b|$ ?

Points $(\sqrt{\pi}, a)$ and $(\sqrt{\pi}, b)$ are distinct points on the graph of $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ What is $|a-b|?$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\sqrt{1+\pi}$

$1 + \sqrt{\pi}$

Solución:

Sustituye $x=\sqrt{\pi}$ , de modo que $x^2=\pi$ y $x^4=\pi^2$ . $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

La ecuación se convierte en $(y-\pi)^2=1$ , así que $y=\pi+1$ o $y=\pi-1$ , y su diferencia es $2$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ . Then $x^2=\pi$ and $x^4=\pi^2$ , so the equation becomes $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

Hence $(y-\pi)^2=1$ , giving the two possible values $y=\pi+1$ and $y=\pi-1$ . Their distance is $2$ .

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años