Question

Los puntos distintos $A, B, C,$ y $D$ están sobre una recta, con $AB=BC=CD=1.$ Los puntos $E$ y $F$ están sobre una segunda recta, paralela a la primera, con $EF=1.$ Un triángulo de área positiva tiene tres de los seis puntos como vértices. ¿Cuántos valores posibles hay para el área del triángulo?

Distinct points $A, B, C,$ and $D$ lie on a line, with $AB=BC=CD=1.$ Points $E$ and $F$ lie on a second line, parallel to the first, with $EF=1.$ A triangle with positive area has three of the six points as its vertices. How many possible values are there for the area of the triangle?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Solución:

Un triángulo de área positiva usa dos puntos de una recta como base y un punto de la otra recta como vértice.

La altura es siempre la distancia fija entre las rectas, así que el área depende solo de la longitud de la base. Las bases sobre la primera recta pueden ser $1, 2,$ o $3;$ una base sobre la segunda recta es $1.$ Así que las longitudes de base distintas son $1, 2, 3,$ dando tres áreas posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A positive-area triangle uses two points on one line as its base and one point on the other line as its apex. The height is always the fixed distance between the lines, so the area depends only on the base length.

Bases on the first line can be $1, 2,$ or $3;$ a base on the second line is $1.$ So the distinct base lengths are $1, 2, 3,$ giving three possible areas.

Thus, the correct answer is A.

2009 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años