Question

Se seleccionan al azar tres enteros distintos entre $1$ y $2016$ , inclusive. ¿Cuál de las siguientes es una afirmación correcta sobre la probabilidad $p$ de que el producto de los tres enteros sea impar?

Three distinct integers are selected at random between $1$ and $2016,$ inclusive. Which of the following is a correct statement about the probability $p$ that the product of the three integers is odd?

$p \lt \dfrac{1}{8}$

$p = \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{8} \lt p \lt \dfrac{1}{3}$

$p = \dfrac{1}{3}$

$p \gt \dfrac{1}{3}$

Solución:

El producto es impar exactamente cuando los tres enteros seleccionados son impares. Hay $1008$ enteros impares y $1008$ pares desde $1$ hasta $2016$ .

Como los enteros se seleccionan sin reemplazo, $p=\frac{1008}{2016}\cdot\frac{1007}{2015}\cdot\frac{1006}{2014}.$ El primer factor es $\frac12$ , y cada uno de los dos factores siguientes es ligeramente menor que $\frac12$ . Por lo tanto $p<\frac18$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The product is odd exactly when all three selected integers are odd. There are $1008$ odd and $1008$ even integers from $1$ to $2016$ .

Because the integers are selected without replacement, $p=\frac{1008}{2016}\cdot\frac{1007}{2015}\cdot\frac{1006}{2014}.$ The first factor is $\frac12$ , and each of the next two factors is slightly less than $\frac12$ . Therefore $p<\frac18$ .

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años