Question

Cuando las raíces del polinomio $P(x) = \prod_{i=1}^{10} (x - i)^i$ se eliminan de la recta de los números reales, lo que queda es la unión de $11$ intervalos abiertos disjuntos. ¿En cuántos de esos intervalos es $P(x)$ positivo?

When the roots of the polynomial $P(x) = \prod_{i=1}^{10} (x - i)^i$ are removed from the real number line, what remains is the union of $11$ disjoint open intervals. On how many of those intervals is $P(x)$ positive?

$3$

$7$

$6$

$4$

$5$

Solución:

Para $x \gt 10,$ todo factor $(x - i)^i$ es positivo, así que $P(x) \gt 0.$ Ahora muévete a la izquierda. Cruzar $x = i$ invierte el signo solo cuando $i$ es impar, es decir en $i = 9, 7, 5, 3, 1.$ Así que los once intervalos, de derecha a izquierda, tienen signos $+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -.$ Seis son positivos. Por lo tanto, la respuesta es C.

For $x \gt 10,$ every factor $(x - i)^i$ is positive, so $P(x) \gt 0.$ Now move left. Crossing $x = i$ flips the sign only when $i$ is odd, that is at $i = 9, 7, 5, 3, 1.$ So the eleven intervals, right to left, carry signs $+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -.$ Six are positive. Therefore, the answer is C.

2023 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años