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2023 AMC 10B Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2023 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Suzanne fue al banco y retiró $800.\$800. El cajero le dio esta cantidad usando billetes de $20,\$20, billetes de $50\$50 y billetes de $100,\$100, con al menos uno de cada denominación. ¿Cuántas colecciones diferentes de billetes pudo haber recibido Suzanne?
Suzanne went to the bank and withdrew $800.\$800. The teller gave her this amount using $20\$20 bills, $50\$50 bills, and $100\$100 bills, with at least one of each denomination. How many different collections of bills could Suzanne have received?
4545
2121
3636
2828
3232
Respuesta: B
Conceptos:Ecuación diofánticaparidadconteo básico
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Divide 20a+50b+100c=80020a + 50b + 100c = 800 entre 10;10; la paridad entonces obliga a que el número de billetes de $50\$50 sea par.
Divide 20a+50b+100c=80020a + 50b + 100c = 800 by 10;10; parity then forces the number of $50\$50 bills to be even
Pista grande:
Escribiendo b=2t,b = 2t, cuenta los pares de enteros positivos (t,c)(t, c) con t+c≤7t + c \le 7.
Writing b=2t,b = 2t, count positive integer pairs (t,c)(t, c) with t+c≤7t + c \le 7
Solución:
Sean a,b,c≥1a, b, c \ge 1 el número de billetes de $20,$50,$100\$20, \$50, \$100. Entonces 20a+50b+100c=800,20a + 50b + 100c = 800, que se reduce a 2a+5b+10c=80.2a + 5b + 10c = 80. Tanto 2a2a como 10c10c son pares, así que 5b5b también lo es, forzando b=2t.b = 2t. Ahora a=40−5t−5c≥1a = 40 - 5t - 5c \ge 1 significa t+c≤7.t + c \le 7. Con t,c≥1,t, c \ge 1, el número de pares es 1+2+⋯+6=21.1 + 2 + \cdots + 6 = 21. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Let a,b,c≥1a, b, c \ge 1 count the $20,$50,$100\$20, \$50, \$100 bills. Then 20a+50b+100c=800,20a + 50b + 100c = 800, which divides down to 2a+5b+10c=80.2a + 5b + 10c = 80. Both 2a2a and 10c10c are even, so 5b5b is too, forcing b=2t.b = 2t. Now a=40−5t−5c≥1a = 40 - 5t - 5c \ge 1 means t+c≤7.t + c \le 7. With t,c≥1,t, c \ge 1, the pairs number 1+2+⋯+6=21.1 + 2 + \cdots + 6 = 21. Thus, B is the correct answer.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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