Question

El producto de tres enteros positivos consecutivos es $8$ veces su suma. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados?

The product of three consecutive positive integers is $8$ times their sum. What is the sum of their squares?

$50$

$77$

$110$

$149$

$194$

Sean los enteros $n - 1,$ $n,$ $n + 1.$ Su producto es $n(n^2 - 1)$ y su suma es $3n,$ así que $n(n^2 - 1) = 8(3n) = 24n.$

Como $n \ne 0,$ obtenemos $n^2 - 1 = 24,$ así que $n^2 = 25$ y $n = 5.$

Los tres enteros son $4, 5, 6,$ y $4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36$ $= 77.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the integers be $n - 1,$ $n,$ $n + 1.$ Their product is $n(n^2 - 1)$ and their sum is $3n,$ so $n(n^2 - 1) = 8(3n) = 24n.$

Since $n \ne 0,$ we get $n^2 - 1 = 24,$ so $n^2 = 25$ and $n = 5.$

The three integers are $4, 5, 6,$ and $4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36$ $= 77.$

Thus, the correct answer is B.