Question

Circunferencias tangentes exteriormente con centros en los puntos $A$ y $B$ tienen radios de longitud $5$ y $3,$ respectivamente. Una recta tangente exterior a ambas circunferencias corta al rayo $AB$ en el punto $C.$ ¿Cuánto vale $BC$ ?

Externally tangent circles with centers at points $A$ and $B$ have radii of lengths $5$ and $3,$ respectively. A line externally tangent to both circles intersects ray $AB$ at point $C.$ What is $BC?$

$4$

$4.8$

$10.2$

$12$

$14.4$

Solución:

Sea $x$ igual a $BC.$ Observa que $\triangle CEB$ y $\triangle CDA$ son semejantes por el criterio ángulo-ángulo (las rectas tangentes son perpendiculares a los radios).

Entonces $\dfrac{x}{3} = \dfrac{8 + x}{5}.$ Multiplicando en cruz obtenemos $5x = 24 + 3x$ $x = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be $BC.$ Note that $\triangle CEB$ and $\triangle CDA$ are similar due to angle-angle (tangent lines are perpendicular to radii).

Then $\dfrac{x}{3} = \dfrac{8 + x}{5}.$ Cross-multiplying gives us $5x = 24 + 3x$ $x = 12.$

Thus, D is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años