Question

La sucesión $1,$ $x,$ $y,$ $z$ es aritmética. La sucesión $1,$ $p,$ $q,$ $z$ es geométrica. Ambas sucesiones son estrictamente crecientes y contienen solo enteros, y $z$ es lo más pequeño posible. ¿Cuál es el valor de $x + y + z + p + q$ ?

The sequence $1,$ $x,$ $y,$ $z$ is arithmetic. The sequence $1,$ $p,$ $q,$ $z$ is geometric. Both sequences are strictly increasing and contain only integers, and $z$ is as small as possible. What is the value of $x + y + z + p + q?$

$66$

$91$

$103$

$132$

$149$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Escribe $z = 1 + 3d$ a partir de la sucesión aritmética y $z = p^3$ a partir de la geométrica.

Write $z = 1 + 3d$ from the arithmetic sequence and $z = p^3$ from the geometric one

Pista grande:

Como $z \equiv 1 \pmod 3,$ prueba razones enteras crecientes $p$ hasta que $p^3 \equiv 1 \pmod 3$ .

Since $z \equiv 1 \pmod 3,$ test increasing integer ratios $p$ until $p^3 \equiv 1 \pmod 3$

Solución:

A partir de la sucesión aritmética, $z = 1 + 3d,$ así que $z \equiv 1 \pmod 3.$ A partir de la geométrica, $z = p^3$ para alguna razón entera $p \ge 2.$ Queremos el menor $z,$ así que probamos $p = 2, 3, 4.$ Solo $p = 4$ funciona, ya que $p^3 = 64 \equiv 1 \pmod 3.$ Eso obliga a $d = 21,$ y las sucesiones son $1, 22, 43, 64$ y $1, 4, 16, 64.$ Así que $x + y + z + p + q$ $= 22 + 43 + 64 + 4 + 16$ $= 149.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

From the arithmetic sequence, $z = 1 + 3d,$ so $z \equiv 1 \pmod 3.$ From the geometric one, $z = p^3$ for some integer ratio $p \ge 2.$ We want the smallest such $z,$ so test $p = 2, 3, 4.$ Only $p = 4$ works, since $p^3 = 64 \equiv 1 \pmod 3.$ That forces $d = 21,$ and the sequences are $1, 22, 43, 64$ and $1, 4, 16, 64.$ So $x + y + z + p + q$ $= 22 + 43 + 64 + 4 + 16$ $= 149.$ Thus, E is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 11

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años