Soluciones del 2025 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Andy y Betsy viven ambos en Mathville. Andy sale de Mathville en su bicicleta a la $1{:}30,$ viajando hacia el norte a una velocidad constante de $8$ millas por hora. Betsy sale en su bicicleta desde el mismo punto a las $2{:}30,$ viajando hacia el este a una velocidad constante de $12$ millas por hora. ¿En qué momento estarán exactamente a la misma distancia de su punto de partida común?

Andy and Betsy both live in Mathville. Andy leaves Mathville on his bicycle at $1{:}30,$ traveling due north at a steady $8$ miles per hour. Betsy leaves on her bicycle from the same point at $2{:}30,$ traveling due east at a steady $12$ miles per hour. At what time will they be exactly the same distance from their common starting point?

$3{:}30$

$3{:}45$

$4{:}00$

$4{:}15$

$4{:}30$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Sea $t$ el número de horas desde que Andy salió; Andy ha recorrido $8t$ millas y Betsy $12(t-1)$ millas.

Let $t$ be the hours since Andy started; Andy has gone $8t$ miles and Betsy $12(t-1)$ miles

Pista grande:

Iguala las dos distancias y despeja $t$ .

Set the two distances equal and solve for $t$

Solución:

Sea $t$ el número de horas desde la $1{:}30.$ Andy ha recorrido $8t$ millas hacia el norte. Betsy sale una hora después, así que ha recorrido $12(t-1)$ millas hacia el este. Queremos que sean iguales: $8t = 12(t-1).$ Esto da $4t = 12,$ por lo que $t = 3.$ Tres horas después de la $1{:}30$ son las $4{:}30.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $t$ be the hours since $1{:}30.$ Andy has gone $8t$ miles north. Betsy starts an hour later, so she’s gone $12(t-1)$ miles east. We want these equal: $8t = 12(t-1).$ That gives $4t = 12,$ so $t = 3.$ Three hours past $1{:}30$ is $4{:}30.$ Thus, E is the correct answer.

2.

Una caja contiene $10$ libras de una mezcla de frutos secos que es $50$ por ciento cacahuetes, $20$ por ciento anacardos y $30$ por ciento almendras. Se añade a la caja una segunda mezcla de frutos secos que contiene $20$ por ciento cacahuetes, $40$ por ciento anacardos y $40$ por ciento almendras, resultando en una nueva mezcla que es $40$ por ciento cacahuetes. ¿Cuántas libras de anacardos hay ahora en la caja?

A box contains $10$ pounds of a nut mix that is $50$ percent peanuts, $20$ percent cashews, and $30$ percent almonds. A second nut mix containing $20$ percent peanuts, $40$ percent cashews, and $40$ percent almonds is added to the box resulting in a new nut mix that is $40$ percent peanuts. How many pounds of cashews are now in the box?

$3.5$

$4$

$4.5$

$5$

$6$

Conceptos:mezcla porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

La caja empieza con $5$ libras de cacahuetes y $2$ libras de anacardos.

The box starts with $5$ pounds of peanuts and $2$ pounds of cashews

Pista grande:

Si se añaden $x$ libras de la segunda mezcla, los cacahuetes pasan a ser $5 + \tfrac{x}{5}$ de un total de $10 + x;$ iguala esta fracción a $\tfrac{40}{100}$ .

If $x$ pounds of the second mix is added, peanuts become $5 + \tfrac{x}{5}$ out of $10 + x;$ set this fraction to $\tfrac{40}{100}$

Solución:

La mezcla inicial de $10$ libras contiene $5$ libras de cacahuetes y $2$ libras de anacardos. Añade $x$ libras de la segunda mezcla, que es $20\%$ cacahuetes. Queremos que la nueva fracción de cacahuetes sea $40\%,$ así que $\frac{5 + 0.2x}{10 + x} = 0.4.$ Esto significa que $5 + 0.2x = 4 + 0.4x,$ lo que da $x = 5.$ Esas $5$ libras aportan $0.4 \cdot 5 = 2$ libras más de anacardos, por lo que la caja tiene ahora $2 + 2 = 4.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

The starting $10$ -pound mix holds $5$ pounds of peanuts and $2$ pounds of cashews. Add $x$ pounds of the second mix, which is $20\%$ peanuts. We want the new peanut fraction to be $40\%,$ so $\frac{5 + 0.2x}{10 + x} = 0.4.$ This means $5 + 0.2x = 4 + 0.4x,$ giving $x = 5.$ Those $5$ pounds bring $0.4 \cdot 5 = 2$ more pounds of cashews, so the box now has $2 + 2 = 4.$ Therefore, the answer is B.

3.

¿Cuántos triángulos isósceles hay con área positiva cuyas longitudes de lado son todos enteros positivos y cuyo lado más largo tiene longitud $2025$ ?

How many isosceles triangles are there with positive area whose side lengths are all positive integers and whose longest side has length $2025?$

$2025$

$2026$

$3012$

$3037$

$4050$

Conceptos:triángulo isósceles desigualdad triangular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Divide en el caso en que dos lados son iguales a $2025$ y el caso en que $2025$ es el único lado más largo.

Split into the case where two sides equal $2025$ and the case where $2025$ is the unique longest side

Pista grande:

En el segundo caso, los dos lados iguales $s$ satisfacen $2s \gt 2025$ y $s \lt 2025$ .

In the second case the two equal sides $s$ satisfy $2s \gt 2025$ and $s \lt 2025$

Solución:

Divide en dos casos. Supón que dos lados son iguales a $2025.$ Entonces el tercer lado puede ser cualquier entero desde $1$ hasta $2025,$ lo que da $2025$ triángulos. Ahora supón que $2025$ es el único lado más largo. Los dos lados iguales $s$ deben satisfacer $2s \gt 2025$ por la desigualdad triangular, y $s \le 2024.$ Así que $s$ va desde $1013$ hasta $2024,$ lo que da $1012$ triángulos. Sumando, $2025 + 1012 = 3037.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Split into two cases. Say two sides both equal $2025.$ Then the third side can be any integer from $1$ to $2025,$ which is $2025$ triangles. Now suppose $2025$ is the unique longest side. The two equal legs $s$ must satisfy $2s \gt 2025$ by the triangle inequality, and $s \le 2024.$ So $s$ runs from $1013$ to $2024,$ giving $1012$ triangles. Adding up, $2025 + 1012 = 3037.$ Thus, D is the correct answer.

4.

Un equipo de estudiantes va a competir contra un equipo de profesores en un concurso de preguntas. El número total de estudiantes y profesores es $15.$ Ash, primo de uno de los estudiantes, quiere unirse al concurso. Si Ash juega con los estudiantes, la edad promedio de ese equipo aumentará de $12$ a $14.$ Si Ash juega con los profesores, la edad promedio de ese equipo disminuirá de $55$ a $52.$ ¿Cuántos años tiene Ash?

A team of students is going to compete against a team of teachers in a trivia contest. The total number of students and teachers is $15.$ Ash, a cousin of one of the students, wants to join the contest. If Ash plays with the students, the average age on that team will increase from $12$ to $14.$ If Ash plays with the teachers, the average age on that team will decrease from $55$ to $52.$ How old is Ash?

$28$

$29$

$30$

$32$

$33$

Conceptos:media sistema de ecuaciones edades

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Sea $s$ el número de estudiantes; sus edades suman $12s$ y las de los profesores $55(15-s)$ .

Let $s$ be the number of students; their ages sum to $12s$ and the teachers’ to $55(15-s)$

Pista grande:

La edad de Ash es $14(s+1) - 12s$ y también $52(16-s) - 55(15-s);$ iguala ambas.

Ash’s age is $14(s+1) - 12s$ and also $52(16-s) - 55(15-s);$ set them equal

Solución:

Sea $s$ el número de estudiantes. Si Ash se une a ellos, su edad es $14(s+1) - 12s = 2s + 14.$ Si en cambio se une a los profesores (hay $15 - s$ de ellos), su edad es $52(16 - s)$ $- 55(15 - s) = 3s + 7.$ Ambas describen al mismo Ash, así que $2s + 14 = 3s + 7.$ Esto da $s = 7,$ y Ash tiene $2 \cdot 7 + 14 = 28.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Let $s$ be the number of students. If Ash joins them, his age is $14(s+1) - 12s = 2s + 14.$ If he joins the teachers instead (there are $15 - s$ of them), his age is $52(16 - s)$ $- 55(15 - s) = 3s + 7.$ Both describe the same Ash, so $2s + 14 = 3s + 7.$ That gives $s = 7,$ and Ash is $2 \cdot 7 + 14 = 28.$ Therefore, the answer is A.

5.

Considera la sucesión de enteros positivos

$\begin{gathered} 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \\ 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, \ldots \end{gathered}$

¿Cuál es el término número $2025$ de esta sucesión?

Consider the sequence of positive integers

$\begin{gathered} 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \\ 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, \\ 1, 2, \ldots \end{gathered}$

What is the $2025$ th term in this sequence?

$5$

$15$

$16$

$44$

$45$

Conceptos:reconocimiento de patrones cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

La sucesión sube desde $1$ hasta un pico y vuelve a bajar; agrúpala en bloques según el valor del pico.

The sequence rises from $1$ up to a peak and falls back; group it into blocks by peak value

Pista grande:

El bloque cuyo pico es $k$ tiene $2k-1$ términos y termina en la posición acumulada $k^2$ .

The block that peaks at $k$ has $2k-1$ terms and ends at cumulative position $k^2$

Solución:

Agrupa la sucesión en bloques. El bloque $k$ es $k, k-1, \ldots, 2, 1, 2, \ldots, k-1, k,$ que tiene $2k - 1$ términos y termina en $k.$ Así que después del bloque $k$ hemos usado $1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2$ términos. Observa que $2025 = 45^2.$ Eso es exactamente el final del bloque $45,$ cuyo último término es $45.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Group the sequence into blocks. Block $k$ reads $k, k-1, \ldots, 2, 1, 2, \ldots, k-1, k,$ which is $2k - 1$ terms and ends on $k.$ So after block $k$ we’ve used $1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2$ terms. Notice $2025 = 45^2.$ That’s exactly the end of block $45,$ whose last term is $45.$ Thus, E is the correct answer.

6.

En un triángulo equilátero, cada ángulo interior es trisecado por un par de rayos. La intersección de los interiores del ángulo central de $20^\circ$ en cada vértice es el interior de un hexágono convexo. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo más pequeño de este hexágono?

In an equilateral triangle each interior angle is trisected by a pair of rays. The intersection of the interiors of the middle $20^\circ$ -angle at each vertex is the interior of a convex hexagon. What is the degree measure of the smallest angle of this hexagon?

$80$

$90$

$100$

$110$

$120$

Conceptos:triángulo equilátero persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cada ángulo de vértice de $60^\circ$ se divide en tres partes de $20^\circ$ ; considera los triángulos formados por los trisectores de dos vértices sobre un mismo lado.

Each $60^\circ$ vertex angle splits into three $20^\circ$ pieces; consider triangles formed by trisectors from two vertices on one side

Pista grande:

Usa la suma de los ángulos de un triángulo en las intersecciones, donde los pares de ángulos de base son $40^\circ,40^\circ$ y $20^\circ,20^\circ$

Use the triangle angle sum at the intersections with base-angle pairs $40^\circ,40^\circ$ and $20^\circ,20^\circ$

Solución:

Etiqueta el triángulo equilátero como $ABC.$ Cada ángulo de $60^\circ$ se divide en tres partes de $20^\circ$ . Toma los trisectores más externos desde $A$ y $B$ : se encuentran formando ángulos de base $\tfrac23 \cdot 60^\circ = 40^\circ,$ así que el vértice del hexágono ahí tiene ángulo $180^\circ - 2\cdot 40^\circ = 100^\circ.$ Los trisectores más internos desde $A$ y $B$ se encuentran formando ángulos de base $20^\circ,$ dando ápice $180^\circ - 2\cdot 20^\circ = 140^\circ,$ y por ángulos opuestos por el vértice ese es el ángulo opuesto del hexágono. Así que los seis ángulos alternan $100^\circ$ y $140^\circ.$ El más pequeño es $100^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Label the equilateral triangle $ABC.$ Each $60^\circ$ angle splits into three $20^\circ$ pieces. Take the outermost trisectors from $A$ and $B$ : they meet at base angles $\tfrac23 \cdot 60^\circ = 40^\circ,$ so the hexagon vertex there has angle $180^\circ - 2\cdot 40^\circ = 100^\circ.$ The innermost trisectors from $A$ and $B$ meet at base angles $20^\circ,$ giving apex $180^\circ - 2\cdot 20^\circ = 140^\circ,$ and by vertical angles that’s the opposite hexagon angle. So the six angles alternate $100^\circ$ and $140^\circ.$ The smallest is $100^\circ.$ Therefore, the answer is C.

7.

Supón que $a$ y $b$ son números reales. Cuando el polinomio $x^3 + x^2 + ax + b$ se divide entre $x - 1,$ el resto es $4.$ Cuando el polinomio se divide entre $x - 2,$ el resto es $6.$ ¿Cuánto vale $b - a$ ?

Suppose $a$ and $b$ are real numbers. When the polynomial $x^3 + x^2 + ax + b$ is divided by $x - 1,$ the remainder is $4.$ When the polynomial is divided by $x - 2,$ the remainder is $6.$ What is $b - a?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Por el teorema del resto, evalúa el polinomio en $x = 1$ y $x = 2$ .

By the Remainder Theorem, evaluate the polynomial at $x = 1$ and $x = 2$

Pista grande:

Esto da $a + b + 2 = 4$ y $2a + b + 12 = 6$ .

This gives $a + b + 2 = 4$ and $2a + b + 12 = 6$

Solución:

Por el teorema del resto, basta con sustituir. Obtenemos $p(1) = 1 + 1 + a + b = 4,$ así que $a + b = 2.$ Y $p(2) = 8 + 4 + 2a + b = 6,$ así que $2a + b = -6.$ Resta la primera de la segunda: $a = -8,$ de donde $b = 10.$ Entonces $b - a = 10 - (-8) = 18.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

By the Remainder Theorem, just plug in. We get $p(1) = 1 + 1 + a + b = 4,$ so $a + b = 2.$ And $p(2) = 8 + 4 + 2a + b = 6,$ so $2a + b = -6.$ Subtract the first from the second: $a = -8,$ hence $b = 10.$ Then $b - a = 10 - (-8) = 18.$ Thus, E is the correct answer.

8.

Agnes escribe las siguientes cuatro afirmaciones en una hoja de papel en blanco.

• Al menos una de estas afirmaciones es verdadera.

• Al menos dos de estas afirmaciones son verdaderas.

• Al menos dos de estas afirmaciones son falsas.

• Al menos una de estas afirmaciones es falsa.

Cada afirmación es verdadera o falsa. ¿Cuántas afirmaciones falsas escribió Agnes en el papel?

Agnes writes the following four statements on a blank piece of paper.

• At least one of these statements is true.

• At least two of these statements are true.

• At least two of these statements are false.

• At least one of these statements is false.

Each statement is either true or false. How many false statements did Agnes write on the paper?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Prueba la suposición de que la tercera afirmación (“al menos dos son falsas”) es verdadera y busca una contradicción.

Test the assumption that the third statement (“at least two are false”) is true and look for a contradiction

Pista grande:

Luego comprueba si tener exactamente una afirmación falsa es totalmente consistente.

Then check whether exactly one false statement is fully consistent

Solución:

Numerémoslas: $(1)$ al menos una verdadera, $(2)$ al menos dos verdaderas, $(3)$ al menos dos falsas, $(4)$ al menos una falsa. Supón que $(3)$ es verdadera. Entonces al menos dos afirmaciones son falsas. Pero entonces $(1),$ $(2)$ y $(4)$ resultan todas verdaderas, lo que deja como máximo una afirmación falsa. Eso es una contradicción, así que $(3)$ debe ser falsa. Ahora $(1),$ $(2)$ y $(4)$ son todas verdaderas, y cada una coincide con la realidad al haber solo una afirmación falsa. Así que exactamente $1$ afirmación es falsa. Por lo tanto, la respuesta es B.

Number them: $(1)$ at least one true, $(2)$ at least two true, $(3)$ at least two false, $(4)$ at least one false. Suppose $(3)$ is true. Then at least two statements are false. But then $(1),$ $(2),$ and $(4)$ all read as true, which leaves at most one false statement. That’s a contradiction, so $(3)$ must be false. Now $(1),$ $(2),$ and $(4)$ are all true, and each matches reality with just one false statement. So exactly $1$ statement is false. Therefore, the answer is B.

9.

Sea $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x.$ ¿Para cuántos números reales $a$ la gráfica de $y = f(x - a)$ pasa por el punto $(1, 25)$ ?

Let $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x.$ For how many real numbers $a$ does the graph of $y = f(x - a)$ pass through the point $(1, 25)?$

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Conceptos:función polinomio

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

La gráfica de $y = f(x-a)$ pasa por $(1,25)$ exactamente cuando $f(1 - a) = 25$ .

The graph of $y = f(x-a)$ passes through $(1,25)$ exactly when $f(1 - a) = 25$

Pista grande:

Factoriza $f(x) = 100x(x-1)(x-2)$ y cuenta las soluciones de $f(t) = 25$ ; observa que $f(0.5)$ supera $25$ .

Factor $f(x) = 100x(x-1)(x-2)$ and count solutions of $f(t) = 25$ ; note that $f(0.5)$ exceeds $25$

Solución:

La gráfica pasa por $(1,25)$ exactamente cuando $f(1 - a) = 25.$ Sea $t = 1 - a,$ de modo que contamos las soluciones de $f(t) = 25.$ Factoriza $f(x) = 100x(x-1)(x-2),$ con raíces $0, 1, 2.$ En $(0,1),$ la función es positiva y $f(0.5) = 37.5 \gt 25,$ así que la continuidad da una raíz a cada lado de $0.5.$ En $(1,2)$ la función es negativa, mientras que para $x \gt 2$ crece desde $0$ hasta infinito, dando una raíz más. Una ecuación cúbica tiene a lo sumo $3$ raíces reales, así que estas son todas las soluciones. Cada una da un $a,$ por lo que hay $3$ valores. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The graph passes through $(1,25)$ exactly when $f(1 - a) = 25.$ Let $t = 1 - a,$ so we count solutions of $f(t) = 25.$ Factor $f(x) = 100x(x-1)(x-2),$ with roots $0, 1, 2.$ On $(0,1),$ the function is positive and $f(0.5) = 37.5 \gt 25,$ so continuity gives one root on each side of $0.5.$ On $(1,2)$ the function is negative, while for $x \gt 2$ it increases from $0$ to infinity, giving one more root. A cubic equation has at most $3$ real roots, so these are all the solutions. Each gives one $a,$ so there are $3$ values. Thus, C is the correct answer.

10.

Un semicírculo tiene diámetro $AB$ y una cuerda $CD$ de longitud $16$ paralela a $AB.$ Del semicírculo mayor se recorta un semicírculo más pequeño con diámetro sobre $AB$ y tangente a $CD$ , como se muestra abajo.

¿Cuál es el área de la figura resultante, mostrada sombreada?

A semicircle has diameter $AB$ and chord $CD$ of length $16$ parallel to $AB.$ A smaller semicircle with diameter on $AB$ and tangent to $CD$ is cut from the larger semicircle, as shown below.

What is the area of the resulting figure, shown shaded?

$16\pi$

$24\pi$

$32\pi$

$48\pi$

$64\pi$

Conceptos:área del círculo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Con radio grande $R$ y radio pequeño $r,$ el área sombreada es $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$ .

With large radius $R$ and small radius $r,$ the shaded area is $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$

Pista grande:

Sea $O$ el centro y $P$ el punto medio de $CD;$ entonces $OP = r,$ $OD = R,$ y $PD = 8,$ así que $R^2 - r^2 = 64$ .

Let $O$ be the center and $P$ the midpoint of $CD;$ then $OP = r,$ $OD = R,$ and $PD = 8,$ so $R^2 - r^2 = 64$

Solución:

Sea $O$ el centro sobre $AB$ y $P$ el punto medio de la cuerda $CD.$ Toma $r = OP$ como el radio pequeño y $R = OD$ como el grande. Como $PD = 8,$ el teorema de Pitágoras en el triángulo $OPD$ da $R^2 - r^2 = 64.$ El área sombreada es el semicírculo grande menos el pequeño: $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$ $= \tfrac12\pi(R^2 - r^2)$ $= 32\pi.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Let $O$ be the center on $AB$ and $P$ the midpoint of chord $CD.$ Set $r = OP$ for the small radius and $R = OD$ for the large one. Since $PD = 8,$ the Pythagorean theorem in triangle $OPD$ gives $R^2 - r^2 = 64.$ The shaded area is the big semicircle minus the small one: $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$ $= \tfrac12\pi(R^2 - r^2)$ $= 32\pi.$ Therefore, the answer is C.

11.

La sucesión $1,$ $x,$ $y,$ $z$ es aritmética. La sucesión $1,$ $p,$ $q,$ $z$ es geométrica. Ambas sucesiones son estrictamente crecientes y contienen solo enteros, y $z$ es lo más pequeño posible. ¿Cuál es el valor de $x + y + z + p + q$ ?

The sequence $1,$ $x,$ $y,$ $z$ is arithmetic. The sequence $1,$ $p,$ $q,$ $z$ is geometric. Both sequences are strictly increasing and contain only integers, and $z$ is as small as possible. What is the value of $x + y + z + p + q?$

$66$

$91$

$103$

$132$

$149$

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Escribe $z = 1 + 3d$ a partir de la sucesión aritmética y $z = p^3$ a partir de la geométrica.

Write $z = 1 + 3d$ from the arithmetic sequence and $z = p^3$ from the geometric one

Pista grande:

Como $z \equiv 1 \pmod 3,$ prueba razones enteras crecientes $p$ hasta que $p^3 \equiv 1 \pmod 3$ .

Since $z \equiv 1 \pmod 3,$ test increasing integer ratios $p$ until $p^3 \equiv 1 \pmod 3$

Solución:

A partir de la sucesión aritmética, $z = 1 + 3d,$ así que $z \equiv 1 \pmod 3.$ A partir de la geométrica, $z = p^3$ para alguna razón entera $p \ge 2.$ Queremos el menor $z,$ así que probamos $p = 2, 3, 4.$ Solo $p = 4$ funciona, ya que $p^3 = 64 \equiv 1 \pmod 3.$ Eso obliga a $d = 21,$ y las sucesiones son $1, 22, 43, 64$ y $1, 4, 16, 64.$ Así que $x + y + z + p + q$ $= 22 + 43 + 64 + 4 + 16$ $= 149.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

From the arithmetic sequence, $z = 1 + 3d,$ so $z \equiv 1 \pmod 3.$ From the geometric one, $z = p^3$ for some integer ratio $p \ge 2.$ We want the smallest such $z,$ so test $p = 2, 3, 4.$ Only $p = 4$ works, since $p^3 = 64 \equiv 1 \pmod 3.$ That forces $d = 21,$ and the sequences are $1, 22, 43, 64$ and $1, 4, 16, 64.$ So $x + y + z + p + q$ $= 22 + 43 + 64 + 4 + 16$ $= 149.$ Thus, E is the correct answer.

12.

Carlos usa un código de $4$ dígitos para desbloquear su computadora. En su código, exactamente un dígito es par, exactamente un dígito (posiblemente distinto) es primo, y ningún dígito es $0.$ ¿Cuántos códigos de $4$ dígitos satisfacen estas condiciones?

Carlos uses a $4$ -digit passcode to unlock his computer. In his passcode, exactly one digit is even, exactly one (possibly different) digit is prime, and no digit is $0.$ How many $4$ -digit passcodes satisfy these conditions?

$176$

$192$

$432$

$464$

$608$

Conceptos:análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Coloca el único dígito par en una de las $4$ posiciones y multiplica por $4;$ los otros tres dígitos son impares.

Place the single even digit in one of $4$ positions and multiply by $4;$ the other three digits are odd

Pista grande:

Divide según si el único dígito primo es el par ( $2$ ) o uno impar ( $3, 5,$ o $7$ ).

Split on whether the one prime digit is the even one ( $2$ ) or an odd one ( $3, 5,$ or $7$ )

Solución:

Ningún dígito es $0,$ así que los dígitos van de $1$ a $9.$ Por ahora coloca el único dígito par en la primera casilla y multiplica por $4$ al final para ubicarlo. Divide según ese dígito par. Si es el primo $2,$ entonces los tres dígitos impares deben ser todos no primos, así que cada uno es $1$ o $9,$ dando $2^3 = 8$ formas. En caso contrario el dígito par es $4, 6,$ u $8$ ( $3$ opciones), y exactamente uno de los dígitos impares es primo, valiendo $3, 5,$ o $7$ ( $3$ opciones) en una de las $3$ posiciones impares, mientras que los otros dos impares provienen de $\{1, 9\}$ ( $2^2$ formas). Eso es $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108.$ En total, $4(8 + 108) = 464.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

No digit is $0,$ so digits run from $1$ to $9.$ Put the single even digit in the first slot for now and multiply by $4$ at the end to place it. Split on that even digit. If it’s the prime $2,$ then the three odd digits all have to be non-prime, so each is $1$ or $9,$ giving $2^3 = 8$ ways. Otherwise the even digit is $4, 6,$ or $8$ ( $3$ choices), and exactly one of the odd digits is prime, worth $3, 5,$ or $7$ ( $3$ choices) in one of the $3$ odd positions, while the other two odds come from $\{1, 9\}$ ( $2^2$ ways). That’s $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108.$ Altogether, $4(8 + 108) = 464.$ Therefore, the answer is D.

13.

En la figura de abajo, el cuadrado exterior contiene infinitos cuadrados, cada uno con el mismo centro y lados paralelos al cuadrado exterior. La razón entre la longitud del lado de un cuadrado y la longitud del lado del siguiente cuadrado interior es $k,$ donde $0 \lt k \lt 1.$ Los espacios entre cuadrados están sombreados de forma alternada, como se muestra en la figura (que no está necesariamente dibujada a escala).

El área de la porción sombreada de la figura es el $64\%$ del área del cuadrado original. ¿Cuánto vale $k$ ?

In the figure below, the outside square contains infinitely many squares, each of them with the same center and sides parallel to the outside square. The ratio of the side length of a square to the side length of the next inner square is $k,$ where $0 \lt k \lt 1.$ The spaces between squares are alternately shaded, as shown in the figure (which is not necessarily drawn to scale).

The area of the shaded portion of the figure is $64\%$ of the area of the original square. What is $k?$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{16}{25}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

Conceptos:sucesión geométrica razón de áreas

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Toma el lado exterior como $1;$ los lados de los cuadrados son $1, k, k^2, \ldots$ y el área sombreada es $1 - k^2 + k^4 - \cdots$ .

Take the outer side to be $1;$ the square sides are $1, k, k^2, \ldots$ and the shaded area is $1 - k^2 + k^4 - \cdots$

Pista grande:

Suma esta serie geométrica de razón $-k^2$ e iguálala a $\tfrac{16}{25}$ .

Sum this geometric series with ratio $-k^2$ and set it equal to $\tfrac{16}{25}$

Solución:

Sea el lado exterior $1.$ Los cuadrados tienen lados $1, k, k^2, \ldots,$ y los anillos sombreados se alternan, así que el área sombreada es $1 - k^2 + k^4 - k^6 + \cdots = \frac{1}{1 + k^2}.$ Nos dicen que esto es igual a $64\% = \frac{16}{25},$ así que $1 + k^2 = \frac{25}{16}.$ Entonces $k^2 = \frac{9}{16},$ lo que da $k = \frac{3}{4}.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the outer side be $1.$ The squares have sides $1, k, k^2, \ldots,$ and the shaded rings alternate, so the shaded area is $1 - k^2 + k^4 - k^6 + \cdots = \frac{1}{1 + k^2}.$ We’re told this equals $64\% = \frac{16}{25},$ so $1 + k^2 = \frac{25}{16}.$ Then $k^2 = \frac{9}{16},$ giving $k = \frac{3}{4}.$ Thus, D is the correct answer.

14.

Seis sillas están dispuestas alrededor de una mesa redonda. Dos estudiantes y dos profesores eligen al azar cuatro de las sillas para sentarse. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos estudiantes se sienten en dos sillas adyacentes y los dos profesores también se sienten en dos sillas adyacentes?

Six chairs are arranged around a round table. Two students and two teachers randomly select four of the chairs to sit in. What is the probability that the two students will sit in two adjacent chairs and the two teachers will also sit in two adjacent chairs?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{3}{13}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:arreglos circulares probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sienta a un estudiante; la probabilidad de que el otro estudiante ocupe una de las dos sillas adyacentes es $\tfrac{2}{5}$ .

Seat one student; the probability the other student takes one of the two adjacent chairs is $\tfrac{2}{5}$

Pista grande:

Dado que los estudiantes son adyacentes, cuenta cuántas de las $\binom{4}{2}=6$ formas de sentar a los profesores son adyacentes.

Given the students are adjacent, count how many of the $\binom{4}{2}=6$ teacher seatings are adjacent

Solución:

Sienta al primer estudiante en cualquier lugar. El segundo estudiante queda junto a él con probabilidad $\tfrac{2}{5},$ ya que dos de las cinco sillas restantes son adyacentes. Ahora los profesores ocupan dos de las cuatro sillas sobrantes. De las $\binom{4}{2} = 6$ formas de hacerlo, exactamente $3$ son pares adyacentes. Así que la probabilidad es $\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{5}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Seat the first student anywhere. The second student lands next to them with probability $\tfrac{2}{5},$ since two of the remaining five chairs are adjacent. Now the teachers fill two of the four leftover chairs. Of the $\binom{4}{2} = 6$ ways to do that, exactly $3$ are adjacent pairs. So the probability is $\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{5}.$ Therefore, the answer is B.

15.

En la figura de abajo, $ABEF$ es un rectángulo, $AD \perp DE,$ $AF = 7,$ $AB = 1,$ y $AD = 5.$ ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

In the figure below, $ABEF$ is a rectangle, $AD \perp DE,$ $AF = 7,$ $AB = 1,$ and $AD = 5.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{8}\sqrt{13}$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{1}{8}\sqrt{15}$

Conceptos:semejanza Teorema de Pitágoras cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $x = BC.$ Entonces $AC = \sqrt{1 + x^2},$ $CE = 7 - x,$ y $CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}$ .

Let $x = BC.$ Then $AC = \sqrt{1 + x^2},$ $CE = 7 - x,$ and $CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}$

Pista grande:

Usa $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ para plantear una proporción y luego despeja $x$ .

Use $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ to set up a proportion, then solve for $x$

Solución:

Sea $x = BC.$ Como $ABEF$ es un rectángulo con $AB = 1$ y $AF = 7,$ y $AD = 5,$ obtenemos $AC = \sqrt{1 + x^2},$ $CE = 7 - x,$ y $CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}.$ Los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle EDC$ son semejantes, así que $\frac{7 - x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{5 - \sqrt{1 + x^2}}{x}.$ Quita denominadores y eleva al cuadrado para obtener $24x^2 + 14x - 24 = 0,$ que se factoriza como $(4x - 3)(3x + 4) = 0.$ La raíz positiva es $x = \tfrac{3}{4}.$ Así que el área es $\tfrac12 \cdot \tfrac34 \cdot 1 = \tfrac{3}{8}.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x = BC.$ Since $ABEF$ is a rectangle with $AB = 1$ and $AF = 7,$ and $AD = 5,$ we get $AC = \sqrt{1 + x^2},$ $CE = 7 - x,$ and $CD = 5 - \sqrt{1 + x^2}.$ The triangles $\triangle ABC$ and $\triangle EDC$ are similar, so $\frac{7 - x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{5 - \sqrt{1 + x^2}}{x}.$ Clear denominators and square to get $24x^2 + 14x - 24 = 0,$ which factors as $(4x - 3)(3x + 4) = 0.$ The positive root is $x = \tfrac{3}{4}.$ So the area is $\tfrac12 \cdot \tfrac34 \cdot 1 = \tfrac{3}{8}.$ Thus, A is the correct answer.

16.

Hay tres frascos. Cada una de tres monedas se coloca en uno de los tres frascos, elegido al azar e independientemente de las colocaciones de las otras monedas. ¿Cuál es el número esperado de monedas en un frasco con más monedas?

There are three jars. Each of three coins is placed in one of the three jars, chosen at random and independently of the placements of the other coins. What is the expected number of coins in a jar with the most coins?

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{39}{27}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{17}{9}$

$2$

Conceptos:valor esperado análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Hay $3^3 = 27$ colocaciones igualmente probables; clasifica cada una según cómo se distribuyen las monedas.

There are $3^3 = 27$ equally likely placements; classify each by how the coins are distributed

Pista grande:

Cuenta las colocaciones con máximo $3$ (todas en un frasco), máximo $1$ (una por frasco) y máximo $2$ (el resto).

Count placements with max $3$ (all in one jar), max $1$ (one per jar), and max $2$ (the rest)

Solución:

Hay $3^3 = 27$ colocaciones igualmente probables. De estas, $3$ amontonan todas las monedas en un frasco (máximo $3$ ), y $6$ ponen una moneda en cada frasco (máximo $1$ ). Las otras $18$ se reparten $2$ - $1$ (máximo $2$ ). Así que el máximo esperado es $\frac{3 \cdot 3 + 2 \cdot 18 + 1 \cdot 6}{27} = \frac{51}{27} = \frac{17}{9}.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

There are $3^3 = 27$ equally likely placements. Of these, $3$ pile all coins into one jar (max $3$ ), and $6$ put one coin in each jar (max $1$ ). The other $18$ split $2$ - $1$ (max $2$ ). So the expected maximum is $\frac{3 \cdot 3 + 2 \cdot 18 + 1 \cdot 6}{27} = \frac{51}{27} = \frac{17}{9}.$ Therefore, the answer is D.

17.

Sea $N$ el único entero positivo tal que al dividir $273436$ entre $N$ queda un resto de $16,$ y al dividir $272760$ entre $N$ queda un resto de $15.$ ¿Cuál es la cifra de las decenas de $N$ ?

Let $N$ be the unique positive integer such that dividing $273436$ by $N$ leaves a remainder of $16,$ and dividing $272760$ by $N$ leaves a remainder of $15.$ What is the tens digit of $N?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:máximo común divisor divisibilidad

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Tanto $273436 - 16$ como $272760 - 15$ son múltiplos de $N$ .

Both $273436 - 16$ and $272760 - 15$ are multiples of $N$

Pista grande:

También lo es su diferencia; redúcela restando más múltiplos, y recuerda que $N \gt 16$ ya que el resto es $16$ .

So is their difference; reduce it by subtracting further multiples, and remember $N \gt 16$ since the remainder is $16$

Solución:

Resta los restos. Tanto $273420 = 273436 - 16$ como $272745 = 272760 - 15$ son múltiplos de $N,$ así que su diferencia $675$ también lo es. Ahora $272745 = 404 \cdot 675 + 45,$ lo que hace que $45$ también sea múltiplo de $N$ . El resto $16$ significa que $N \gt 16,$ y el único divisor de $45$ mayor que $16$ es $45$ mismo. Así que $N = 45,$ y su cifra de las decenas es $4.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Subtract off the remainders. Both $273420 = 273436 - 16$ and $272745 = 272760 - 15$ are multiples of $N,$ so their difference $675$ is too. Now $272745 = 404 \cdot 675 + 45,$ which makes $45$ a multiple of $N$ as well. The remainder $16$ means $N \gt 16,$ and the only divisor of $45$ bigger than $16$ is $45$ itself. So $N = 45,$ and its tens digit is $4.$ Thus, E is the correct answer.

18.

La media armónica de un conjunto de números es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números del conjunto. Por ejemplo, la media armónica de $4,$ $4,$ y $5$ es

$\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.$

¿Cuál es la media armónica de todas las raíces reales del siguiente polinomio de grado $4050$ ?

$\begin{gathered} \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ {}= (x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ \quad {}\cdot (2025x^2 - 4x - 3)? \end{gathered}$

The harmonic mean of a collection of numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of the reciprocals of the numbers in the collection. For example, the harmonic mean of $4,$ $4,$ and $5$ is

$\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.$

What is the harmonic mean of all the real roots of the $4050$ th degree polynomial

$\begin{gathered} \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ {}= (x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ \quad {}\cdot (2025x^2 - 4x - 3)? \end{gathered}$

$-\dfrac{5}{3}$

$-\dfrac{3}{2}$

$-\dfrac{6}{5}$

$-\dfrac{5}{6}$

$-\dfrac{2}{3}$

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática media armónica

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Para cada factor $kx^2 - 4x - 3,$ Vieta da suma de raíces $\tfrac{4}{k}$ y producto $-\tfrac{3}{k},$ así que la suma de los recíprocos es su cociente.

For each factor $kx^2 - 4x - 3,$ Vieta gives root sum $\tfrac{4}{k}$ and product $-\tfrac{3}{k},$ so the reciprocal-sum is their quotient

Pista grande:

La media armónica es el número de raíces dividido entre la suma total de los recíprocos.

The harmonic mean is the number of roots divided by the total sum of reciprocals

Solución:

Consideremos un factor $kx^2 - 4x - 3.$ Su discriminante $16 + 12k$ es positivo, así que tiene dos raíces reales distintas. Las raíces de factores diferentes también son distintas: una raíz común $x$ para los índices $k_1$ y $k_2$ satisfaría $(k_1-k_2)x^2=0,$ pero $x\ne0.$ Por Vieta, la suma de los recíprocos de las dos raíces de un factor es $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\tfrac{4}{3}.$ Al sumar sobre los $2025$ factores, los recíprocos suman $2025 \cdot \left(-\tfrac{4}{3}\right) = -2700.$ Hay $4050$ raíces reales en total, de modo que la media armónica es $\frac{4050}{-2700} = -\tfrac{3}{2}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Look at one factor $kx^2 - 4x - 3.$ Its discriminant $16 + 12k$ is positive, so it has two distinct real roots. Roots from different factors are also distinct: a common root $x$ for indices $k_1$ and $k_2$ would satisfy $(k_1-k_2)x^2=0,$ but $x\ne0.$ By Vieta, the two reciprocals from one factor sum to $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\tfrac{4}{3}.$ Summing over all $2025$ factors, the reciprocals total $2025 \cdot \left(-\tfrac{4}{3}\right) = -2700.$ There are $4050$ real roots in all, so the harmonic mean is $\frac{4050}{-2700} = -\tfrac{3}{2}.$ Therefore, the answer is B.

19.

Un arreglo de números se construye empezando con los números $-1,$ $3,$ $1$ en la fila superior. Cada par de números adyacentes se suma para producir un número en la fila siguiente. Cada fila comienza y termina con los números $-1$ y $1,$ respectivamente. Las primeras tres filas se muestran abajo.

Si el proceso continúa, una de las filas sumará $12{,}288.$ En esa fila, ¿cuál es el tercer número desde la izquierda?

An array of numbers is constructed beginning with the numbers $-1,$ $3,$ $1$ in the top row. Each adjacent pair of numbers is summed to produce a number in the next row. Each row will begin and end with the numbers $-1$ and $1,$ respectively. The first three rows are shown below.

If the process continues, one of the rows will sum to $12{,}288.$ In that row, what is the third number from the left?

$-29$

$-21$

$-14$

$-8$

$-3$

Conceptos:recursión número triangular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Cada entrada interior alimenta dos sumas de abajo, así que el total de cada fila se duplica; la fila superior suma $3$ .

Each interior entry feeds two sums below, so each row’s total doubles; the top row sums to $3$

Pista grande:

Sigue la tercera diagonal desde la izquierda, que acumula la segunda diagonal $3, 2, 1, 0, \ldots$ .

Track the third diagonal from the left, which accumulates the second diagonal $3, 2, 1, 0, \ldots$

Solución:

Cada entrada interior alimenta dos entradas de abajo, y los valores de los extremos $-1$ y $1$ se cancelan en la suma. Así que el total de cada fila duplica el de la de arriba. La fila superior suma $3,$ y $12{,}288 = 3 \cdot 2^{12},$ así que esta es la fila número $12$ (contando la superior como la fila $0$ ). Sigue las diagonales desde la izquierda. La segunda diagonal es $3, 2, 1, 0, -1, \ldots,$ disminuyendo $1$ por fila. La tercera diagonal las va sumando: para $n \ge 4$ vale $7 - (0 + 1 + \cdots + (n-4))$ $= 7 - \frac{(n-4)(n-3)}{2}.$ Sustituye $n = 12$ : $7 - \frac{8 \cdot 9}{2} = -29.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Each interior entry feeds two entries below, and the end values $-1$ and $1$ cancel in the sum. So every row’s total doubles the one above. The top row sums to $3,$ and $12{,}288 = 3 \cdot 2^{12},$ so this is the $12$ th row (counting the top as row $0$ ). Track the diagonals from the left. The second diagonal is $3, 2, 1, 0, -1, \ldots,$ dropping by $1$ each row. The third diagonal adds these up: for $n \ge 4$ it equals $7 - (0 + 1 + \cdots + (n-4))$ $= 7 - \frac{(n-4)(n-3)}{2}.$ Plug in $n = 12$ : $7 - \frac{8 \cdot 9}{2} = -29.$ Thus, A is the correct answer.

20.

Un silo (cilindro circular recto) de diámetro $20$ metros se alza en un campo. MacDonald está ubicado $20$ metros al oeste y $15$ metros al sur del centro del silo. McGregor está ubicado $20$ metros al este y $g \gt 0$ metros al sur del centro del silo. La línea de visión entre MacDonald y McGregor es tangente al silo. El valor de $g$ se puede escribir como $\dfrac{a\sqrt{b} - c}{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos, $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y $d$ es primo relativo con el máximo común divisor de $a$ y $c.$ ¿Cuánto vale $a + b + c + d$ ?

A silo (right circular cylinder) with diameter $20$ meters stands in a field. MacDonald is located $20$ meters west and $15$ meters south of the center of the silo. McGregor is located $20$ meters east and $g \gt 0$ meters south of the center of the silo. The line of sight between MacDonald and McGregor is tangent to the silo. The value of $g$ can be written as $\dfrac{a\sqrt{b} - c}{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, $b$ is not divisible by the square of any prime, and $d$ is relatively prime to the greatest common divisor of $a$ and $c.$ What is $a + b + c + d?$

$119$

$120$

$121$

$122$

$123$

Conceptos:recta tangente geometría analítica cuadrática

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pon el centro del silo en el origen; la línea de visión es tangente al círculo de radio $10$ .

Put the silo’s center at the origin; the line of sight is tangent to the circle of radius $10$

Pista grande:

A lo largo de la recta tangente $DG = DT + TG,$ donde cada uno de $DT$ y $TG$ es la longitud de la tangente desde un punto al círculo.

Along the tangent line $DG = DT + TG,$ where each of $DT$ and $TG$ is a tangent length from a point to the circle

Solución:

Pon el centro del silo en el origen con radio $10.$ Entonces MacDonald está en $D = (-20, -15)$ y McGregor en $G = (20, -g).$ La longitud de la tangente desde $D$ es $DT = \sqrt{DS^2 - 10^2}$ $= \sqrt{25^2 - 100}$ $= \sqrt{525},$ y desde $G$ es $TG = \sqrt{g^2 + 20^2 - 10^2}.$ El punto de tangencia $T$ está entre los dos hombres, así que $DG = DT + TG.$ Pero además $DG = \sqrt{40^2 + (15 - g)^2}.$ Eleva al cuadrado dos veces y simplifica: $3g^2 + 150g - 925 = 0.$ Su raíz positiva, que satisface la ecuación original de longitudes de tangente, es $g = \frac{20\sqrt{21} - 75}{3}.$ Así que $a + b + c + d$ $= 20 + 21 + 75 + 3$ $= 119.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Put the silo’s center at the origin with radius $10.$ Then MacDonald is at $D = (-20, -15)$ and McGregor at $G = (20, -g).$ The tangent length from $D$ is $DT = \sqrt{DS^2 - 10^2}$ $= \sqrt{25^2 - 100}$ $= \sqrt{525},$ and from $G$ it is $TG = \sqrt{g^2 + 20^2 - 10^2}.$ The tangent point $T$ sits between the two men, so $DG = DT + TG.$ But also $DG = \sqrt{40^2 + (15 - g)^2}.$ Squaring twice and simplifying gives $3g^2 + 150g - 925 = 0.$ Its positive root, which satisfies the original tangent-length equation, is $g = \frac{20\sqrt{21} - 75}{3}.$ Therefore $a + b + c + d$ $= 20 + 21 + 75 + 3$ $= 119.$ Thus, A is the correct answer.

21.

Un conjunto de números se llama libre de sumas si cada vez que $x$ y $y$ son elementos (no necesariamente distintos) del conjunto, $x + y$ no es un elemento del conjunto. Por ejemplo, $\{1, 4, 6\}$ y el conjunto vacío son libres de sumas, pero $\{2, 4, 5\}$ no lo es. ¿Cuál es el mayor número posible de elementos de un subconjunto libre de sumas de $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ ?

A set of numbers is called sum-free if whenever $x$ and $y$ are (not necessarily distinct) elements of the set, $x + y$ is not an element of the set. For example, $\{1, 4, 6\}$ and the empty set are sum-free, but $\{2, 4, 5\}$ is not. What is the greatest possible number of elements in a sum-free subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:subconjuntos argumento extremal emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Tanto $\{1, 3, 5, \ldots, 19\}$ como $\{11, 12, \ldots, 20\}$ son libres de sumas, cada uno con $10$ elementos.

Both $\{1, 3, 5, \ldots, 19\}$ and $\{11, 12, \ldots, 20\}$ are sum-free, each with $10$ elements

Pista grande:

Si $m$ es el mayor elemento, empareja $1$ hasta $m-1$ como $\{i, m-i\};$ cada par aporta como máximo un elemento.

If $m$ is the largest element, pair $1$ to $m-1$ as $\{i, m-i\};$ each pair contributes at most one element

Solución:

Podemos llegar a $10.$ Los impares $\{1, 3, 5, \ldots, 19\}$ son libres de sumas, ya que dos impares suman un par. También lo es $\{11, 12, \ldots, 20\},$ ya que cualesquiera dos de ellos suman más de $20.$ Cada uno tiene $10$ elementos. Ahora sea $m$ el mayor elemento de un subconjunto libre de sumas cualquiera. Para $1\le i<\frac{m}{2},$ a lo sumo se puede elegir un elemento de $\{i,m-i\}$ , porque los dos suman $m.$ Si $m$ es par, tampoco se puede elegir $\frac{m}{2}$ , ya que puede usarse dos veces y $\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=m.$ Así, además de $m$ hay a lo sumo $\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor$ elementos elegidos, para un total de a lo sumo $\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor+1\le10.$ Por lo tanto, el mayor tamaño posible es $10.$ Así, C es la respuesta correcta.

We can reach $10.$ The odds $\{1, 3, 5, \ldots, 19\}$ are sum-free, since two odds sum to an even. So is $\{11, 12, \ldots, 20\},$ since any two of those sum past $20.$ Each has $10$ elements. Now let $m$ be the largest element of any sum-free subset. For $1\le i<\frac{m}{2},$ at most one member of $\{i,m-i\}$ can be chosen, because the two sum to $m.$ If $m$ is even, $\frac{m}{2}$ cannot be chosen either, since it can be used twice and $\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=m.$ Thus besides $m$ there are at most $\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor$ chosen elements, for a total of at most $\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor+1\le10.$ Therefore the greatest possible size is $10.$ Thus, C is the correct answer.

22.

Un círculo de radio $r$ está rodeado por tres círculos, cuyos radios son $1,$ $2,$ y $3,$ todos tangentes exteriormente al círculo interior y entre sí, como se muestra.

¿Cuánto vale $r$ ?

A circle of radius $r$ is surrounded by three circles, whose radii are $1,$ $2,$ and $3,$ all externally tangent to the inner circle and externally tangent to each other, as shown in the diagram below.

What is $r?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{6}{23}$

$\dfrac{3}{11}$

$\dfrac{5}{17}$

$\dfrac{3}{10}$

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Los centros de los círculos de radio $1, 2, 3$ están a distancias mutuas $3, 4, 5$ , formando un triángulo rectángulo.

The centers of the radius- $1, 2, 3$ circles are pairwise $3, 4, 5$ apart, forming a right triangle

Pista grande:

Coloca el ángulo recto en el origen y escribe las ecuaciones de distancia para el centro interior, o aplica la relación de curvaturas de los cuatro círculos.

Place the right angle at the origin and write distance equations for the inner center, or apply the four-circle curvature relation

Solución:

Los tres centros exteriores $A, B, C$ están a distancias mutuas $AB = 1 + 2 = 3,$ $AC = 1 + 3 = 4,$ y $BC = 2 + 3 = 5$ , un triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ . Ahora aplica el Teorema del Círculo de Descartes con curvaturas $1, \tfrac12, \tfrac13,$ y $\tfrac1r,$ todas mutuamente tangentes: $\frac1r = 1 + \tfrac12 + \tfrac13$ $+ 2\sqrt{\tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac13}$ $= \tfrac{11}{6} + 2\sqrt{1}$ $= \tfrac{23}{6}.$ Invirtiendo, $r = \tfrac{6}{23}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

The three outer centers $A, B, C$ are pairwise $AB = 1 + 2 = 3,$ $AC = 1 + 3 = 4,$ and $BC = 2 + 3 = 5$ apart, a $3$ - $4$ - $5$ right triangle. Now apply Descartes’ Circle Theorem with curvatures $1, \tfrac12, \tfrac13,$ and $\tfrac1r,$ all mutually tangent: $\frac1r = 1 + \tfrac12 + \tfrac13$ $+ 2\sqrt{\tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac13}$ $= \tfrac{11}{6} + 2\sqrt{1}$ $= \tfrac{23}{6}.$ Inverting, $r = \tfrac{6}{23}.$ Therefore, the answer is B.

23.

El triángulo $\triangle ABC$ tiene longitudes de lado $AB = 80,$ $BC = 45,$ y $AC = 75.$ La bisectriz de $\angle B$ y la altura sobre el lado $AB$ se cortan en el punto $P.$ ¿Cuánto vale $BP$ ?

Triangle $\triangle ABC$ has side lengths $AB = 80,$ $BC = 45,$ and $AC = 75.$ The bisector of $\angle B$ and the altitude to side $AB$ intersect at point $P.$ What is $BP?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

Conceptos:teorema de la bisectriz semejanza persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Haz que la bisectriz de $\angle B$ corte a $AC$ en $D;$ el Teorema de la Bisectriz da $AD = 48$ y $CD = 27$ .

Let the bisector of $\angle B$ meet $AC$ at $D;$ the Angle Bisector Theorem gives $AD = 48$ and $CD = 27$

Pista grande:

Muestra que $BD = 48,$ así que $\triangle ADB$ es isósceles; luego persigue ángulos para hallar que $\triangle CDP$ es isósceles con $PD = CD$ .

Show $BD = 48,$ so $\triangle ADB$ is isosceles; then angle-chase to find $\triangle CDP$ isosceles with $PD = CD$

Solución:

Sea $D$ la intersección de la bisectriz de $\angle B$ con $AC.$ Por el teorema de la bisectriz, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ y como $AC = 75,$ obtenemos $AD = 48$ y $CD = 27.$ Los triángulos $BCD$ y $ACB$ comparten $\angle C,$ y los lados adyacentes tienen la razón común $\tfrac{45}{75}=\tfrac{27}{45}=\tfrac35,$ así que son semejantes por LAL. Entonces $BD=\tfrac35\cdot80=48=AD,$ por lo que $\triangle ADB$ es isósceles. Sea $\angle DAB=\angle DBA=\theta.$ Como la altura por $C$ es perpendicular a $AB,$ tanto $\angle DPC$ como $\angle DCP$ son $90^\circ-\theta.$ Así, $\triangle CDP$ es isósceles y $PD=CD=27.$ Como $P$ está en $BD,$ tenemos $BP=BD-PD$ $=48-27=21.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the bisector of $\angle B$ hit $AC$ at $D.$ By the Angle Bisector Theorem, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ and since $AC = 75,$ we get $AD = 48$ and $CD = 27.$ Triangles $BCD$ and $ACB$ share $\angle C,$ with adjacent sides in the common ratio $\tfrac{45}{75}=\tfrac{27}{45}=\tfrac35,$ so they are similar by SAS. Hence $BD=\tfrac35\cdot80=48=AD,$ making $\triangle ADB$ isosceles. Put $\angle DAB=\angle DBA=\theta.$ Because the altitude through $C$ is perpendicular to $AB,$ both $\angle DPC$ and $\angle DCP$ equal $90^\circ-\theta.$ Thus $\triangle CDP$ is isosceles, so $PD=CD=27.$ Since $P$ lies on $BD,$ we get $BP=BD-PD$ $=48-27=21.$ Thus, D is the correct answer.

24.

Llamamos justo a un entero positivo si ningún dígito se usa más de una vez, no tiene $0$ s, y ningún dígito es adyacente a dos dígitos mayores. Por ejemplo, $23,$ $196,$ y $12463$ son justos, pero $1546,$ $320,$ y $34321$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos justos hay?

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no $0$ s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example, $23,$ $196,$ and $12463$ are fair, but $1546,$ $320,$ and $34321$ are not fair. How many fair positive integers are there?

$511$

$2{,}584$

$9{,}841$

$17{,}711$

$19{,}682$

Conceptos:combinaciones teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Los dígitos de un número justo aumentan hasta su dígito más grande $m$ y luego disminuyen.

A fair number’s digits increase up to its largest digit $m$ and then decrease

Pista grande:

Para $k$ dígitos, elige el conjunto de dígitos ( $\binom{9}{k}$ ) y decide cuáles de los $k-1$ dígitos más pequeños van a la izquierda de $m$ ( $2^{k-1}$ ).

For $k$ digits, choose the digit set ( $\binom{9}{k}$ ) and decide which of the $k-1$ smaller digits go left of $m$ ( $2^{k-1}$ )

Solución:

Las cifras de un número justo deben aumentar hasta su cifra mayor $m$ y luego disminuir. En efecto, el primer ascenso después de cualquier descenso comenzaría en una cifra menor que sus dos vecinas. Para $k$ cifras, elegimos el conjunto de cifras entre $1$ y $9$ de $\binom{9}{k}$ maneras. Cada una de las $k-1$ cifras menores que $m$ se coloca independientemente en el lado izquierdo creciente o en el lado derecho decreciente; después, su posición queda determinada. Por tanto, el total es $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1+2)^9-1\big)$ $= \tfrac{3^9-1}{2}$ $=9841.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

A fair number’s digits must increase up to its largest digit $m$ and then decrease. Indeed, the first ascent after any descent would begin at a digit smaller than both of its neighbors. For $k$ digits, choose the digit set from $1$ to $9$ in $\binom{9}{k}$ ways. Each of the $k-1$ digits below $m$ independently goes on the increasing left side or the decreasing right side, after which its position is forced. Hence the total is $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1+2)^9-1\big)$ $= \tfrac{3^9-1}{2}$ $=9841.$ Therefore, the answer is C.

25.

Se elige al azar un punto $P$ dentro del cuadrado $ABCD.$ La probabilidad de que $AP$ no sea ni el lado más corto ni el más largo de $\triangle APB$ se puede escribir como $\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ son enteros positivos, $\gcd(a, b, c, e) = 1,$ y $d$ no es divisible por el cuadrado de un primo. ¿Cuánto vale $a + b + c + d + e$ ?

A point $P$ is chosen at random inside square $ABCD.$ The probability that $AP$ is neither the shortest nor the longest side of $\triangle APB$ can be written as $\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e},$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ are positive integers, $\gcd(a, b, c, e) = 1,$ and $d$ is not divisible by the square of a prime. What is $a + b + c + d + e?$

$25$

$26$

$27$

$28$

$29$

Conceptos:probabilidad geométrica sector circular triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Toma $A = (0,0), B = (1,0);$ $AP$ es la longitud intermedia cuando $BP \lt AP \lt AB$ o $AB \lt AP \lt BP$ .

Set $A = (0,0), B = (1,0);$ $AP$ is the middle length when either $BP \lt AP \lt AB$ or $AB \lt AP \lt BP$

Pista grande:

Las fronteras son el círculo $AP = 1$ (centrado en $A$ ) y la recta vertical $AP = BP;$ usa el sector de $60^\circ$ donde $\triangle ABS$ es equilátero.

The boundaries are the circle $AP = 1$ (about $A$ ) and the vertical line $AP = BP;$ use the $60^\circ$ sector where $\triangle ABS$ is equilateral

Solución:

Coloca $A = (0,0)$ y $B = (1,0)$ en el cuadrado unitario. $AP$ es la longitud intermedia cuando $BP \lt AP \lt AB$ o $AB \lt AP \lt BP.$ Estas regiones están limitadas por el círculo centrado en $A$ de radio $1$ (donde $AP = AB$ ) y la recta $x = \tfrac12$ (donde $AP = BP$ ). Sea $S$ donde el círculo corta a $x = \tfrac12.$ Entonces $\triangle ABS$ es equilátero, así que $\angle BAS = 60^\circ.$ La región más grande tiene área $\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24}$ y la más pequeña tiene área $\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}.$ Sumadas dan $\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}.$ Así $a + b + c + d + e$ $= 6 + 1 + 3 + 3 + 12$ $= 25.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Place $A = (0,0)$ and $B = (1,0)$ on the unit square. $AP$ is the middle length when $BP \lt AP \lt AB$ or $AB \lt AP \lt BP.$ These regions are bounded by the circle centered at $A$ with radius $1$ (where $AP = AB$ ) and the line $x = \tfrac12$ (where $AP = BP$ ). Let $S$ be where the circle meets $x = \tfrac12.$ Then $\triangle ABS$ is equilateral, so $\angle BAS = 60^\circ.$ The larger region has area $\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24}$ and the smaller has area $\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}.$ They add to $\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}.$ Thus $a + b + c + d + e$ $= 6 + 1 + 3 + 3 + 12$ $= 25.$ Thus, A is the correct answer.