Question

Una circunferencia pasa por los tres vértices de un triángulo isósceles que tiene dos lados de longitud $3$ y una base de longitud $2.$ ¿Cuál es el área de esta circunferencia?

A circle passes through the three vertices of an isosceles triangle that has two sides of length $3$ and a base of length $2.$ What is the area of this circle?

$2\pi$

$\dfrac{5}{2}\pi$

$\dfrac{81}{32}\pi$

$3\pi$

$\dfrac{7}{2}\pi$

Solución:

El triángulo tiene lados $3,3,2.$ Su área es $\dfrac12\cdot 2\cdot\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$

El circunradio es $R=\dfrac{abc}{4K}$ $=\dfrac{3\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 2\sqrt2}$ $=\dfrac{9}{4\sqrt2}$ $=\dfrac{9\sqrt2}{8}.$

El área de la circunferencia es $\pi R^2=\pi\cdot\dfrac{81\cdot 2}{64}=\dfrac{81}{32}\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The triangle has sides $3,3,2.$ Its area is $\dfrac12\cdot 2\cdot\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$

The circumradius is $R=\dfrac{abc}{4K}$ $=\dfrac{3\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 2\sqrt2}$ $=\dfrac{9}{4\sqrt2}$ $=\dfrac{9\sqrt2}{8}.$

The area of the circle is $\pi R^2=\pi\cdot\dfrac{81\cdot 2}{64}=\dfrac{81}{32}\pi.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 10B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años