Question

El cuadrado $EFGH$ tiene un vértice en cada lado del cuadrado $ABCD.$ El punto $E$ está en $\overline{AB}$ con $AE=7\cdot EB.$ ¿Cuál es la razón entre el área de $EFGH$ y el área de $ABCD$ ?

Square $EFGH$ has one vertex on each side of square $ABCD.$ Point $E$ is on $\overline{AB}$ with $AE=7\cdot EB.$ What is the ratio of the area of $EFGH$ to the area of $ABCD?$

$\dfrac{49}{64}$

$\dfrac{25}{32}$

$\dfrac78$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{8}$

$\dfrac{\sqrt{14}}{4}$

Solución:

Sea $x = EB.$ Entonces $AB = 8x.$ Aplicando el Teorema de Pitágoras a un lado de $EFGH,$ obtenemos $\sqrt{(7x)^2 + x^2} = \sqrt{50x^2}$

La razón buscada es entonces $\dfrac{\sqrt{50x^2}^2}{(8x)^2} = \dfrac{50}{64} = \dfrac{25}{32}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $x = EB.$ Then $AB = 8x.$ Applying the Pythagorean Theorem to a side of $EFGH,$ we get $\sqrt{(7x)^2 + x^2} = \sqrt{50x^2}$

The desired ratio is then $\dfrac{\sqrt{50x^2}^2}{(8x)^2} = \dfrac{50}{64} = \dfrac{25}{32}.$

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años