Question

Un cuadrado de área $3$ tiene inscrito un cuadrado de área $2$ . Esto crea $4$ triángulos rectángulos congruentes más pequeños. ¿Cuál es la razón entre el cateto menor y el cateto mayor en el triángulo rectángulo sombreado?

A square with area $3$ has a square with area $2$ inscribed in it. This creates $4$ smaller congruent right triangles. What is the ratio of the smaller leg to the larger leg in the shaded right triangle?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$2 - \sqrt{3}$

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\sqrt{2} - 1$

Solución:

Cada triángulo rectángulo de esquina tiene catetos $a$ y $b.$ Un lado del cuadrado exterior da $a+b=\sqrt3,$ y un lado del cuadrado inscrito da $a^2+b^2=2.$ Resta para hallar el producto: $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$ $=3-2$ $=1,$ así que $ab=\tfrac12.$ Entonces $a$ y $b$ son las raíces de $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ es decir $\tfrac{\sqrt3\pm1}{2}.$ La razón entre el cateto menor y el mayor es $\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}$ $=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}$ $=2-\sqrt3.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each corner right triangle has legs $a$ and $b.$ A side of the outer square gives $a+b=\sqrt3,$ and a side of the inscribed square gives $a^2+b^2=2.$ Subtract to find the product: $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$ $=3-2$ $=1,$ so $ab=\tfrac12.$ Then $a$ and $b$ are the roots of $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ namely $\tfrac{\sqrt3\pm1}{2}.$ The ratio of the smaller leg to the larger is $\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}$ $=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}$ $=2-\sqrt3.$ Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años