Question

El primer término de una sucesión es $2005.$ Cada término siguiente es la suma de los cubos de los dígitos del término anterior. ¿Cuál es el término $2005$ de la sucesión?

The first term of a sequence is $2005.$ Each succeeding term is the sum of the cubes of the digits of the previous term. What is the $2005$ th term of the sequence?

$29$

$55$

$85$

$133$

$250$

Solución:

La sucesión comienza $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots,$ así que después del primer término repite el ciclo $133, 55, 250$ de longitud $3.$

Los términos a partir de la posición $2$ siguen este ciclo. Como $2005 = 2 + 3 \cdot 667 + 2,$ el término $2005$ coincide con la tercera entrada del ciclo, $250.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The sequence begins $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots,$ so after the first term it repeats the cycle $133, 55, 250$ of length $3.$

The terms from position $2$ onward follow this cycle. Since $2005 = 2 + 3 \cdot 667 + 2,$ the $2005$ th term matches the third entry of the cycle, $250.$

Thus, E is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años