Question

¿Cuántos divisores enteros positivos de $201^9$ son cuadrados perfectos o cubos perfectos (o ambos)?

How many positive integer divisors of $201^9$ are perfect squares or perfect cubes (or both)?

$32$

$36$

$37$

$39$

$41$

Tomando la factorización prima de $201^9,$ obtenemos $3^9 \cdot 67^9.$

Observa que un cuadrado perfecto tiene exponentes pares para sus factores primos, y los exponentes de un cubo son divisibles entre $3.$

Hay $5$ opciones para un exponente par, de $0$ a $8,$ y $4$ opciones para múltiplos de $3,$ de $0$ a $9.$

Esto nos da $5^2$ opciones para los cuadrados y $4^2$ opciones para los cubos. Sin embargo, tenemos que restar las sextas potencias.

Con la misma lógica, las sextas potencias deben tener exponentes de sus factores primos divisibles entre $6.$ Hay $2$ opciones, $0$ y $6.$

Esto significa que hay $2^2 = 4$ sextas potencias. Por inclusión-exclusión, esto nos da un total de $25 + 16 - 4 = 37.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Taking the prime factorization of $201^9,$ we get $3^9 \cdot 67^9.$

Note that a perfect square has even exponents for its prime factors, and a cube's exponents are divisible by $3.$

There are $5$ options for an even exponent, from $0$ through $8,$ and $4$ options for multiples of $3,$ from $0$ through $9.$

This gives us $5^2$ options for the squares and $4^2$ options for the cubes. We have to subtract out the sixth powers, however.

Using the same logic, sixth powers have to have exponents of prime factors be divisible by $6.$ There are $2$ options, $0$ and $6.$

This means that there are $2^2 = 4$ sixth powers. This gives us a total of $25 + 16 - 4 = 37.$ perfect squares or perfect cubes.

Thus, C is the correct answer.