2008 AMC 10B Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2008 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Supón que

(u_n)

es una sucesión de números reales que satisface

u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,

y que

u_3=9

u_6=128.

¿Cuánto vale

u_5

Suppose that

(u_n)

is a sequence of real numbers satisfying

u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,

and that

u_3=9

and

u_6=128.

What is

u_5?

40

53

68

88

104

Escribe

u_5

u_6

en términos de

u_4

u_3

Write

u_5

and

u_6

in terms of

u_4

and

u_3

u_5=2u_4+9

u_6=2u_5+u_4,

así que

128=5u_4+18

u_5=2u_4+9

and

u_6=2u_5+u_4,

128=5u_4+18

Usando la recurrencia,

u_5=2u_4+u_3=2u_4+9

u_6=2u_5+u_4

=2(2u_4+9)+u_4

=5u_4+18.

Al plantear

5u_4+18=128

se obtiene

u_4=22,

así que

u_5=2\cdot 22+9=53.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using the recurrence,

u_5=2u_4+u_3=2u_4+9

and

u_6=2u_5+u_4

=2(2u_4+9)+u_4

=5u_4+18.

Setting

5u_4+18=128

gives

u_4=22,

u_5=2\cdot 22+9=53.

Thus, the correct answer is B.