2008 AMC 10B Problema 11

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 11 del 2008 AMC 10B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1140

11.

Supón que $(u_n)$ es una sucesión de números reales que satisface $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,$ y que $u_3=9$ y $u_6=128.$ ¿Cuánto vale $u_5$ ?

Suppose that $(u_n)$ is a sequence of real numbers satisfying $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,$ and that $u_3=9$ and $u_6=128.$ What is $u_5?$

$40$

$53$

$68$

$88$

$104$

Usando la recurrencia, $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ y $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18.$

Al plantear $5u_4+18=128$ se obtiene $u_4=22,$ así que $u_5=2\cdot 22+9=53.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using the recurrence, $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ and $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18.$

Setting $5u_4+18=128$ gives $u_4=22,$ so $u_5=2\cdot 22+9=53.$

Thus, the correct answer is B.