Question

¿Cuántos pares ordenados de enteros $(m, n)$ satisfacen

$\sqrt{n^2 - 49} = m$ ?

How many ordered pairs of integers $(m, n)$ satisfy

$\sqrt{n^2 - 49} = m?$

$1$

$2$

$3$

$4$

Infinitos

Infinitely many

Solución:

Nota que $m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0$ debe ser un entero, así que $n^2 - 49 = m^2,$ lo que significa $(n - m)(n + m) = 49.$ Las factorizaciones de $49$ dan $|n| = 25, m = 24$ o $|n| = 7, m = 0.$ Así que los pares ordenados $(m, n)$ son $(24, 25),$ $(24, -25),$ $(0, 7),$ $(0, -7).$ Son $4$ de ellos. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note $m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0$ has to be an integer, so $n^2 - 49 = m^2,$ which means $(n - m)(n + m) = 49.$ The factorizations of $49$ give $|n| = 25, m = 24$ or $|n| = 7, m = 0.$ So the ordered pairs $(m, n)$ are $(24, 25),$ $(24, -25),$ $(0, 7),$ $(0, -7).$ That's $4$ of them. Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años