Question

Considera la siguiente operación. Dado un entero positivo $n,$ si $n$ es múltiplo de $3,$ entonces reemplazas $n$ por $\tfrac{n}{3}.$ Si $n$ no es múltiplo de $3,$ entonces reemplazas $n$ por $n + 10.$ Luego continúas este proceso. Por ejemplo, comenzando con $n = 4,$ este procedimiento da $4 \to 14 \to 24 \to 8$ $\to 18 \to 6 \to 2 \to 12 \to \cdots.$

Supón que empiezas con $n = 100.$ ¿Qué valor resulta si realizas esta operación exactamente $100$ veces?

Consider the following operation. Given a positive integer $n,$ if $n$ is a multiple of $3,$ then you replace $n$ by $\tfrac{n}{3}.$ If $n$ is not a multiple of $3,$ then you replace $n$ by $n + 10.$ Then continue this process. For example, beginning with $n = 4,$ this procedure gives $4 \to 14 \to 24 \to 8$ $\to 18 \to 6 \to 2 \to 12 \to \cdots.$

Suppose you start with $n = 100.$ What value results if you perform this operation exactly $100$ times?

$10$

$20$

$30$

$40$

$50$

Solución:

Simplemente ejecútalo desde $100:$ $100 \to 110 \to 120 \to 40$ $\to 50 \to 60 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to \cdots.$ Tras el $8$ º paso estamos en $10,$ y desde ahí entra en el ciclo $10, 20, 30$ con periodo $3.$ Así que el paso $8 + k$ es la $k$ ésima entrada del ciclo. Para el paso $100,$ $k = 92,$ y $92 \equiv 2 \pmod 3,$ lo que cae en $30.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Just run it from $100:$ $100 \to 110 \to 120 \to 40$ $\to 50 \to 60 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to \cdots.$ After the $8$ th step we're at $10,$ and from there it cycles $10, 20, 30$ with period $3.$ So step $8 + k$ is the $k$ th entry of the cycle. For step $100,$ $k = 92,$ and $92 \equiv 2 \pmod 3,$ which lands on $30.$ Therefore, the answer is C.

2024 AMC 10A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años