Question

¿De cuántas maneras pueden $6$ estudiantes de penúltimo año y $6$ de último año formar $3$ equipos disjuntos de $4$ personas de modo que cada equipo tenga $2$ de penúltimo año y $2$ de último año?

In how many ways can $6$ juniors and $6$ seniors form $3$ disjoint teams of $4$ people so that each team has $2$ juniors and $2$ seniors?

$720$

$1350$

$2700$

$3280$

$8100$

Solución:

Divide a los $6$ de penúltimo año en tres parejas sin orden. Hay $\frac{6!}{2!^3 3!} = 15$ maneras, y las mismas $15$ para los de último año. Cada equipo es una pareja de penúltimo año unida a una pareja de último año, así que emparejamos las tres parejas de penúltimo año con las tres de último año de $3! = 6$ maneras. Eso da $15 \cdot 15 \cdot 6 = 1350$ conjuntos de equipos. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Split the $6$ juniors into three unordered pairs. There are $\frac{6!}{2!^3 3!} = 15$ ways, and the same $15$ for the seniors. Each team is one junior-pair paired with one senior-pair, so we match the three junior-pairs to the three senior-pairs in $3! = 6$ ways. That's $15 \cdot 15 \cdot 6 = 1350$ sets of teams. Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años