Question

Una pantalla digital muestra la fecha actual como un entero de $8$ dígitos, formado por un año de $4$ dígitos, seguido de un mes de $2$ dígitos, seguido del día del mes de $2$ dígitos. ¿En cuántas fechas de $2023$ aparecerá cada dígito un número par de veces en la pantalla digital de esa fecha?

A digital display shows the current date as an $8$ -digit integer, consisting of a $4$ -digit year, followed by a $2$ -digit month, followed by a $2$ -digit date within the month. For how many dates in $2023$ will each digit appear an even number of times in the digital display for that date?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Solución:

El año $2023$ ya da dos $2$ (par), un $0$ , y un $3$ . Así que, para que cada dígito aparezca un número par de veces, los cuatro dígitos de $MM$ y $DD$ deben aportar un $0$ más, un $3$ más, y dos dígitos iguales, manteniendo par la cantidad de $2$ . Al revisar las fechas válidas se obtiene $01/13,01/31,02/23$ , $03/11,03/22,10/13$ , y $10/31,11/03,11/30$ , exactamente $9$ fechas. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The year $2023$ already gives two $2$ s (even), one $0$ , and one $3$ . So to make every digit occur an even number of times, the four digits of $MM$ and $DD$ must supply one more $0$ , one more $3$ , and two equal digits, while keeping the number of $2$ s even. Checking the legal dates gives $01/13,01/31,02/23$ , $03/11,03/22,10/13$ , and $10/31,11/03,11/30$ , exactly $9$ dates. Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años