Question

Los dos catetos de un triángulo rectángulo, que también son alturas, miden $2\sqrt3$ y $6.$ ¿Cuánto mide la tercera altura del triángulo?

The two legs of a right triangle, which are altitudes, have lengths $2\sqrt3$ and $6.$ How long is the third altitude of the triangle?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

El área del triángulo es $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3}.$ La longitud de la hipotenusa es $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$

Trazando la altura $h,$ desde el vértice hasta la hipotenusa, obtenemos $\dfrac{1}{2} \cdot h \cdot 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ $h = 3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We get that the area of the triangle is $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3}.$ The length of the hypotenuse is $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$

Dropping the altitude, $h,$ from the vertex to the hypotenuse, we get that $\dfrac{1}{2} \cdot h \cdot 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ $h = 3.$

Thus, C is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años