Question

Un rectángulo se divide en $5$ regiones como se muestra. Cada región se pintará de un color sólido: rojo, naranja, amarillo, azul o verde, de modo que las regiones que se tocan queden pintadas de colores distintos, y los colores pueden usarse más de una vez. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A rectangle is partitioned into $5$ regions as shown. Each region is to be painted a solid color - red, orange, yellow, blue, or green - so that regions that touch are painted different colors, and colors can be used more than once. How many different colorings are possible?

$120$

$270$

$360$

$540$

$720$

Solución:

Hay $5$ opciones para el color del rectángulo inferior izquierdo. Esto obliga a que haya $4$ opciones para el rectángulo superior izquierdo. El rectángulo inferior central toca a los dos anteriores, así que hay $3$ opciones de color para este rectángulo.

El rectángulo superior derecho también está limitado a $3$ colores, ya que toca a los dos rectángulos anteriores. Finalmente, el rectángulo inferior derecho también tiene $3$ opciones de color.

Multiplicando todo esto, obtenemos $5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540$ coloraciones en total.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are $5$ choices for the color of the bottom left rectangle. This forces there to be $4$ choices for the top left rectangle. The middle bottom rectangle touches both of the previous ones, so there are $3$ color options for this rectangle.

The rectangle in the top right is also limited to $3$ colors since it touches the two previous rectangles. Finally, the rectangle in the bottom right also has $3$ color options.

Multiplying these together, we get $5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540$ total colorings.

Thus, D is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años