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2016 AMC 10B Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2016 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Los tres vértices del △ABC\bigtriangleup ABC están sobre la parábola definida por y=x2,y=x^2, con AA en el origen y BC‾\overline{BC} paralelo al eje xx. El área del triángulo es 64.64. ¿Cuál es la longitud de BCBC?
All three vertices of △ABC\bigtriangleup ABC lie on the parabola defined by y=x2,y=x^2, with AA at the origin and BC‾\overline{BC} parallel to the xx-axis. The area of the triangle is 64.64. What is the length of BC?BC?
 4 \ 4
 6 \ 6
 8 \ 8
 10 \ 10
 16 \ 16
Respuesta: C
Conceptos:parábolaárea del triángulogeometría analítica
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Usa los puntos simétricos (−t,t2)(-t,t^2) y (t,t2)(t,t^2).
Use symmetric points (−t,t2)(-t,t^2) and (t,t2)(t,t^2)
Pista grande:
El área del triángulo es t3t^3.
The triangle area is t3t^3
Solución:
Sean los puntos A=(0,0),A=(0,0), B=(x1,y1),B=(x_1,y_1), C=(x2,y2).C=(x_2,y_2).
Luego, como BCBC es paralelo al eje xx, sabemos que y1=y2,y_1=y_2, lo que llamaremos y.y. Entonces, x12=y=x22,x_1^2 = y=x_2^2, así que x12=x22.x_1^2=x_2^2 . Esto implica que x1=−x2x_1=-x_2 o bien x1=x2.x_1 = x_2. La segunda opción no puede ocurrir, ya que haría que dos puntos fueran iguales, lo que crearía un área de 0.0. Por ello, sea x=−x1=x2.x= -x_1=x_2. Entonces y=x2y=x^2 también.
Entonces, los puntos son A=(0,0),A=(0,0),B=(−x,x2),B=(-x,x^2),C=(x,x2).C=(x,x^2). Con base BC,BC, la longitud es 2x2x y la altura es x2.x^2. Esto haría que el área fuera x3=64.x^3 = 64. Por lo tanto, x=4,x=4, así que BC=2⋅4=8.BC = 2\cdot 4 = 8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let the points be A=(0,0),A=(0,0),B=(x1,y1),B=(x_1,y_1),C=(x2,y2).C=(x_2,y_2).
Then, since BCBC is parallel with the xx-axis, we know y1=y2,y_1=y_2, which we will let be y.y. Then, x12=y=x22,x_1^2 = y=x_2^2, so x12=x22.x_1^2=x_2^2 . This implies that either x1=−x2x_1=-x_2 or x1=x2.x_1 = x_2. The second option cannot happen since that would set two points as the same, which would create an area of 0.0. As such, let x=−x1=x2.x= -x_1=x_2. Then y=x2y=x^2 also.
Then, the points are A=(0,0),A=(0,0),B=(−x,x2),B=(-x,x^2),C=(x,x2).C=(x,x^2). With a base of BC,BC, the length is 2x2x and the height is x2.x^2. This would make the area x3=64.x^3 = 64. Therefore, x=4,x=4, so BC=2⋅4=8.BC = 2\cdot 4 = 8.
Thus, the correct answer is C .
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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