Question

El área de $\triangle EBD$ es un tercio del área del triángulo $3$ - $4$ - $5$ $ABC$ . El segmento $DE$ es perpendicular al segmento $AB$ . ¿Cuánto vale $BD$ ?

The area of $\triangle EBD$ is one third of the area of the $3$ - $4$ - $5$ triangle $ABC.$ Segment $DE$ is perpendicular to segment $AB.$ What is $BD?$

$\dfrac{4}{3}$

$\sqrt{5}$

$\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{5}{2}$

Solución:

Por semejanza ángulo-ángulo, $BDE \sim BCA$ .

Luego, como la razón de las áreas es $\frac 13$ , la razón de las longitudes de los lados es $\frac{1}{\sqrt 3}$ .

Por lo tanto, $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{BD}4 = \dfrac{1}{\sqrt 3},$ de modo que $BD = \dfrac 4{ \sqrt 3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} .$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By angle angle similarity, we have $BDE \sim BCA .$

Then, since the ratio of the areas is $\frac 13,$ the ratio of the sidelengths is $\frac{1}{\sqrt 3}.$

As such, $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{BD}4 = \dfrac{1}{\sqrt 3},$ making $BD = \dfrac 4{ \sqrt 3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} .$

Thus, the correct answer is D .

2011 AMC 10B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años