Question

Considera el conjunto de números $\{1, 10, 10^2, 10^3, \ldots, 10^{10}\}$ . ¿A qué entero se aproxima más la razón entre el mayor elemento del conjunto y la suma de los otros diez elementos del conjunto?

Consider the set of numbers $\{1, 10, 10^2, 10^3, \ldots, 10^{10}\}.$ The ratio of the largest element of the set to the sum of the other ten elements of the set is closest to which integer?

$1$

$9$

$10$

$11$

$101$

Solución:

El número mayor es $10^{10}$ . El resto de los números tiene una suma de $S=\sum_{i=0}^9 10^i.$ Entonces, $10S = \sum_{i=0}^9 10^{i+1}$ , lo que da $9S = 10^{10}-1$ . Esto significa que $\dfrac{10^{10}}{9S}$ está cerca de uno, así que la razón entre $10^{10}$ y la suma está cerca de $9$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The largest number is $10^{10}.$ The rest of the number have a sum of $S=\sum_{i=0}^9 10^i.$ Then, $10S = \sum_{i=0}^9 10^{i+1},$ making $9S = 10^{10}-1.$ This means that $\dfrac{10^{10}}{9S}$ is close to one, so the ratio between $10^{10}$ and the sum is close to $9.$

Thus, the correct answer is B .

2011 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años