Question

En el paralelepípedo rectangular mostrado, $AB = 3,$ $BC = 1,$ y $CG = 2.$ El punto $M$ es el punto medio de $FG.$ ¿Cuál es el volumen de la pirámide rectangular con base $BCHE$ y ápice $M$ ?

In the rectangular parallelepiped shown, $AB = 3,$ $BC = 1,$ and $CG = 2.$ Point $M$ is the midpoint of $FG.$ What is the volume of the rectangular pyramid with base $BCHE$ and apex $M?$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

Solución:

Coloca $A$ en el origen con las aristas a lo largo de los ejes: $A = (0,0,0),$ $B = (3,0,0),$ $C = (3,1,0),$ $E = (0,0,2),$ $H = (0,1,2),$ $F = (3,0,2),$ $G = (3,1,2),$ de modo que $M = (3, \tfrac12, 2).$ La base $BCHE$ es un rectángulo con $BC = 1$ y $BE = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13},$ por lo que su área es $\sqrt{13}.$ Su plano es $2x + 3z = 6,$ y $M$ está a distancia $\frac{|2\cdot3 + 3\cdot2 - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ de él. El volumen es $\tfrac13 \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}} = 2.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Put $A$ at the origin with edges along the axes: $A = (0,0,0),$ $B = (3,0,0),$ $C = (3,1,0),$ $E = (0,0,2),$ $H = (0,1,2),$ $F = (3,0,2),$ $G = (3,1,2),$ so $M = (3, \tfrac12, 2).$ The base $BCHE$ is a rectangle with $BC = 1$ and $BE = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13},$ hence area $\sqrt{13}.$ Its plane is $2x + 3z = 6,$ and $M$ sits at distance $\frac{|2\cdot3 + 3\cdot2 - 6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ from it. The volume is $\tfrac13 \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}} = 2.$ Therefore, the answer is E.

2018 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años