Question

Camila escribe cinco enteros positivos. La moda única de estos enteros es $2$ mayor que su mediana, y la mediana es $2$ mayor que su media aritmética. ¿Cuál es el menor valor posible de la moda?

Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is $2$ greater than their median, and the median is $2$ greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?

$\ 5$

$\ 7$

$\ 9$

$\ 11$

$\ 13$

Solución:

Sean los enteros en orden creciente $a,b,c,d,e.$ La mediana es $c,$ y la moda única es $c+2.$

Como la moda es mayor que la mediana y es única, las dos últimas entradas deben ser ambas $c+2,$ así que la lista es $a,b,c,c+2,c+2.$

La media es $c-2,$ así que $\begin{aligned} &\frac{a+b+c+(c+2)+(c+2)}{5} \\ &\quad = c-2. \end{aligned}$ Por lo tanto $a+b+3c+4=5c-10,$ de donde $a+b=2c-14.$

Para que la moda sea única, $a$ y $b$ deben ser enteros positivos distintos, ambos menores que $c.$ Como $a+b=2c-14$ es par, la menor suma de este tipo es $1+3=4,$ así que $2c-14\ge4,$ lo que da $c\ge9.$

Por lo tanto, la menor moda posible es $c+2=11,$ y se alcanza con $1,3,9,11,11.$

Así, la respuesta es D.

Let the integers in increasing order be $a,b,c,d,e.$ The median is $c,$ and the unique mode is $c+2.$

Because the mode is larger than the median and is unique, the last two entries must both be $c+2,$ so the list is $a,b,c,c+2,c+2.$

The mean is $c-2,$ so $\begin{aligned} &\frac{a+b+c+(c+2)+(c+2)}{5} \\ &\quad = c-2. \end{aligned}$ Hence $a+b+3c+4=5c-10,$ so $a+b=2c-14.$

To keep the mode unique, $a$ and $b$ must be distinct positive integers, both less than $c.$ Since $a+b=2c-14$ is even, the smallest such sum is $1+3=4,$ so $2c-14\ge4,$ giving $c\ge9.$

The smallest possible mode is therefore $c+2=11,$ and it is attainable with $1,3,9,11,11.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años