Soluciones del 2022 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Para todos los números reales $x$ y $y,$ se define $x~\diamondsuit~ y$ como $|x-y|$ . ¿Cuál es el valor de $(1~\diamondsuit~(2~\diamondsuit~3))-((1~\diamondsuit~2)~\diamondsuit~3)?$

Define $x~\diamondsuit~ y$ to be $|x-y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ What is the value of $(1~\diamondsuit~(2~\diamondsuit~3))-((1~\diamondsuit~2)~\diamondsuit~3)?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Conceptos:operación personalizada valor absoluto

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Recuerda que la operación es la diferencia en valor absoluto.

Remember that the operation is absolute difference

Pista grande:

Evalúa cada operación de rombo desde adentro hacia afuera.

Evaluate each diamond operation from the inside out

Solución:

Trabajando desde las operaciones más internas hacia afuera, obtenemos $\begin{aligned} 1\mathbin\diamondsuit(2\mathbin\diamondsuit3)&=|1-|2-3||=0,\\ (1\mathbin\diamondsuit2)\mathbin\diamondsuit3&=||1-2|-3|=2. \end{aligned}$ Por tanto, la diferencia dada es $0-2=-2.$

Así, la respuesta es A.

Working from the innermost operations outward gives $\begin{aligned} 1\mathbin\diamondsuit(2\mathbin\diamondsuit3)&=|1-|2-3||=0,\\ (1\mathbin\diamondsuit2)\mathbin\diamondsuit3&=||1-2|-3|=2. \end{aligned}$ Therefore, the given difference is $0-2=-2.$

Thus, the answer is A .

2.

En el rombo $ABCD,$ el punto $P$ está sobre el segmento $\overline{AD}$ de modo que $\overline{BP} \perp \overline{AD},$ $AP = 3,$ y $PD = 2.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

In rhombus $ABCD,$ point $P$ lies on segment $\overline{AD}$ so that $\overline{BP} \perp \overline{AD},$ $AP = 3,$ and $PD = 2.$ What is the area of $ABCD?$

$3\sqrt 5$

$10$

$6\sqrt 5$

$20$

$25$

Conceptos:rombo Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Usa el triángulo rectángulo con catetos AP y BP.

Use the right triangle with legs AP and BP

Pista grande:

La altura desde B divide el lado AD del rombo.

The altitude from B splits the rhombus side AD

Solución:

Como $ABCD$ es un rombo, $AB=AD=AP+PD=5.$ El triángulo rectángulo $ABP$ da entonces $\begin{aligned}BP&=\sqrt{AB^2-AP^2}\\&=\sqrt{25-9}=4.\end{aligned}$ Por tanto, el rombo tiene base $AD=5$ y altura $BP=4,$ así que su área es $5\cdot4=20.$

Así, la respuesta es D.

Since $ABCD$ is a rhombus, $AB=AD=AP+PD=5.$ Right triangle $ABP$ then gives $\begin{aligned}BP&=\sqrt{AB^2-AP^2}\\&=\sqrt{25-9}=4.\end{aligned}$ Thus the rhombus has base $AD=5$ and height $BP=4,$ so its area is $5\cdot4=20.$

Thus, the answer is D .

3.

¿Cuántos enteros positivos de tres cifras tienen una cantidad impar de cifras pares?

How many three-digit positive integers have an odd number of even digits?

$150$

$250$

$350$

$450$

$550$

Conceptos:dígitos paridad principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Un número de tres cifras no puede empezar con $0.$

A three-digit number cannot start with $0$

Pista grande:

Clasifica según el número de posiciones con cifra par.

Count by the number of even digit positions

Solución:

Hay $9\cdot10=90$ maneras de elegir las cifras de las centenas y las decenas. Una vez fijadas, la cifra de las unidades debe tener la paridad que haga impar el número total de cifras pares. Siempre hay $5$ cifras de la paridad requerida, contando el $0$ entre las cifras pares.

Por lo tanto, el número de enteros de este tipo es $90\cdot5=450.$

Así, la respuesta es D.

There are $9\cdot10=90$ choices for the hundreds and tens digits. Once those two digits are fixed, the units digit must have whichever parity makes the total number of even digits odd. There are always $5$ digits of the required parity (including $0$ among the even digits).

Therefore, the number of integers is $90\cdot5=450.$

Thus, the answer is D .

4.

Un burro sufre un ataque de hipo y el primer hipo ocurre a las $4:00$ de una tarde. Supón que el burro tiene hipo de forma regular cada $5$ segundos. ¿A qué hora ocurre el $700$ -ésimo hipo del burro?

A donkey suffers an attack of hiccups and the first hiccup happens at $4:00$ one afternoon. Suppose that the donkey hiccups regularly every $5$ seconds. At what time does the donkey’s $700$ th hiccup occur?

$15$ segundos después de $4:58$

$15$ seconds after $4:58$

$20$ segundos después de $4:58$

$20$ seconds after $4:58$

$25$ segundos después de $4:58$

$25$ seconds after $4:58$

$30$ segundos después de $4:58$

$30$ seconds after $4:58$

$35$ segundos después de $4:58$

$35$ seconds after $4:58$

Conceptos:sucesión aritmética conversión de unidades

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Convierte los segundos transcurridos desde las $4{:}00$ en minutos y segundos.

Convert the elapsed seconds past $4{:}00$ into minutes and seconds

Pista grande:

Cuenta el número de intervalos de cinco segundos después de las $4{:}00.$

Count the number of five-second intervals after $4{:}00$

Solución:

Como queremos considerar el $700$ -ésimo hipo, debemos fijarnos en el instante que está $699$ hipos después del primero.

Esto son $699\cdot 5 = 3495$ segundos. Nota que $3495 = 60\cdot 58+15,$ así que el instante sería $58$ minutos y $15$ segundos después del primer hipo. Por lo tanto, esto es $4:58$ y $15$ segundos.

Así, la respuesta es A.

Since we want to look at the $700$ th hiccup, we need to look at time that is $699$ hiccups after the first one.

This would be $699\cdot 5 = 3495$ seconds. Note that $3495 = 60\cdot 58+15,$ so the time would be $58$ minutes and $15$ seconds after the first hiccup. This would therefore be $4:58$ and $15$ seconds.

Thus, the answer is A .

5.

¿Cuál es el valor de $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

What is the value of $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt{15}$

$4$

$\sqrt{105}$

Conceptos:diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Reescribe cada factor bajo la raíz cuadrada como el producto de dos fracciones cercanas.

Rewrite each square-root factor as a product of two nearby fractions

Pista grande:

Empareja cada factor del numerador con el factor correspondiente bajo la raíz cuadrada.

Pair each factor in the numerator with the matching factor under the square root

Solución:

Sea $E$ la expresión positiva dada. Al elevarla al cuadrado y usar $1-\frac{1}{p^2}=(1-\frac{1}{p})(1+\frac{1}{p})$ , obtenemos $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{p}}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}$ Por tanto, $E=2.$

Así, la respuesta es B.

Let the given positive expression be $E.$ Squaring it and using $1-\frac{1}{p^2}=(1-\frac{1}{p})(1+\frac{1}{p})$ gives $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+\frac{1}{p}}{1-\frac{1}{p}}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}$ Hence $E=2.$

Thus, the answer is B .

6.

¿Cuántos de los primeros diez números de la sucesión $121, 11211, 1112111, \ldots$ son primos?

How many of the first ten numbers of the sequence $121, 11211, 1112111, \ldots$ are prime numbers?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:primo factorización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Expresa el término $n$ -ésimo como la suma de dos bloques superpuestos de $n+1$ unos

Express the $n$ th term as the sum of two overlapping blocks of $n+1$ ones

Pista grande:

Cada término de la sucesión tiene un patrón de factorización evidente.

Each term in the sequence has an obvious factorization pattern

Solución:

Afirmamos que ninguno de estos números puede ser primo.

El $n$ -ésimo número es $\sum_{k=0}^{2n} 10^k + 10^n = \sum_{k=0}^{n} 10^k +$ $\sum_{k=n}^{2n} 10^k =\sum_{k=0}^{n} 10^k + \sum_{k=0}^{n} 10^k \cdot 10^n$ $= (10^n+1)(\sum_{k=0}^{n} 10^k).$ Esto muestra que cada término es el producto de dos números mayores que $1,$ por lo que no hay primos.

Así, la respuesta es A.

We claim that none of these numbers can ever be prime.

We prove this claim by noticing that the $n$ th number is $\sum_{k=0}^{2n} 10^k + 10^n = \sum_{k=0}^{n} 10^k +$ $\sum_{k=n}^{2n} 10^k =\sum_{k=0}^{n} 10^k + \sum_{k=0}^{n} 10^k \cdot 10^n$ $= (10^n+1)(\sum_{k=0}^{n} 10^k).$ This shows that the number can be written as the product of two numbers greater than $1,$ so there are no primes.

Thus, the answer is A .

7.

¿Para cuántos valores de la constante $k$ el polinomio $x^{2}+kx+36$ tiene dos raíces enteras distintas?

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^{2}+kx+36$ have two distinct integer roots?

$\ 6$

$\ 8$

$\ 9$

$\ 14$

$\ 16$

Conceptos:Fórmulas de Vieta factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Diferentes pares de raíces dan diferentes valores de k

Different root pairs give different values of k

Pista grande:

Las raíces enteras deben ser pares de factores de $36.$

Integer roots must be factor pairs of $36$

Solución:

Sean $r,s$ las raíces. Al desarrollar $(x-r)(x-s)$ se obtiene $x^2-(r+s)x+rs.$ Comparando los coeficientes con los del polinomio dado, resulta que $rs=36$ y $r+s=-k.$

Por lo tanto, necesitamos que $r$ y $s$ sean distintos y cumplan $rs = 36.$ Todos los pares de factores posibles son $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ y $\pm\{4,9\}.$

Cada uno de estos pares no ordenados produce un valor único de $k,$ así que hay $8$ valores posibles de $k.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the roots be $r,s.$ Expanding $(x-r)(x-s)$ gives $x^2-(r+s)x+rs.$ Comparing coefficients with the given polynomial yields $rs=36$ and $r+s=-k.$

Therefore, we need $r$ and $s$ distinct such that $rs = 36.$ All the possible factor pairs are $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ and $\pm\{4,9\}.$

Each of these unordered pairs produces a unique value for $k,$ so there are $8$ possible values for $k.$

Thus, B is the correct answer.

8.

Considera los siguientes $100$ conjuntos de $10$ elementos cada uno: $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}$ ¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de $7$ ?

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each: $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}$ How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$\ 40$

$\ 42$

$\ 43$

$\ 49$

$\ 50$

Conceptos:múltiplo aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Un bloque contiene exactamente dos múltiplos cuando el primer múltiplo de $7$ termina en $1,$ $2,$ o $3$

A block has two multiples exactly when its first multiple of $7$ ends in $1,$ $2,$ or $3$

Pista grande:

Sigue las cifras de las unidades de los múltiplos de $7$

Track the units digits of the multiples of $7$

Solución:

Un bloque de diez enteros consecutivos contiene exactamente dos múltiplos de $7$ precisamente cuando su primer múltiplo de $7$ ocupa una de las tres primeras posiciones. Por tanto, ese múltiplo debe tener cifra de las unidades $1,$ $2,$ o $3.$

Los múltiplos de $7$ con esas cifras de las unidades son, respectivamente, $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j.\end{gathered}$ Para cada expresión, $j=0,1,\ldots,13$ da un valor no mayor que $1000,$ así que cada clase aporta $14$ bloques. Por tanto, el total es $3\cdot14=42.$

Así, la respuesta es B.

A block of ten consecutive integers contains exactly two multiples of $7$ precisely when its first multiple of $7$ is in one of the first three positions. Thus that multiple must have units digit $1,$ $2,$ or $3.$

The multiples of $7$ with those units digits are, respectively, $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j.\end{gathered}$ For each expression, $j=0,1,\ldots,13$ gives a value at most $1000,$ so each class contributes $14$ blocks. Therefore, the total is $3\cdot14=42.$

Thus, the answer is B .

9.

La suma $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ se puede expresar como $a-\dfrac{1}{b!},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

The sum $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ can be expressed as $a-\dfrac{1}{b!},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$\ 2020$

$\ 2021$

$\ 2022$

$\ 2023$

$\ 2024$

Conceptos:telescópica factorial inducción

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Busca una diferencia que involucre recíprocos de factoriales consecutivos.

Look for a difference involving consecutive factorial reciprocals

Pista grande:

Reescribe cada término para que la suma sea telescópica.

Rewrite each term so the sum telescopes

Solución:

Cada término se cancela telescópicamente porque $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ Al sumar, se cancelan todos los recíprocos factoriales intermedios y queda $1-\frac1{2022!}.$ Por tanto, $a=1, b=2022,$ y $a+b=2023.$

Así, la respuesta es D.

Each term telescopes because $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ Summing makes every intermediate factorial reciprocal cancel, leaving $1-\frac1{2022!}.$ Hence $a=1, b=2022,$ and $a+b=2023.$

Thus, our answer is D .

10.

Camila escribe cinco enteros positivos. La moda única de estos enteros es $2$ mayor que su mediana, y la mediana es $2$ mayor que su media aritmética. ¿Cuál es el menor valor posible de la moda?

Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is $2$ greater than their median, and the median is $2$ greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?

$\ 5$

$\ 7$

$\ 9$

$\ 11$

$\ 13$

Conceptos:media mediana (datos)moda optimización

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

La moda única debe ocupar las dos últimas posiciones.

The unique mode must occupy the last two positions

Pista grande:

Sean los enteros ordenados a,b,c,d,e.

Let the ordered integers be a,b,c,d,e

Solución:

Sean los enteros en orden creciente $a,b,c,d,e.$ La mediana es $c,$ y la moda única es $c+2.$

Como la moda es mayor que la mediana y es única, las dos últimas entradas deben ser ambas $c+2,$ así que la lista es $a,b,c,c+2,c+2.$

La media es $c-2,$ así que $\begin{aligned} &\frac{a+b+c+(c+2)+(c+2)}{5} \\ &\quad = c-2. \end{aligned}$ Por lo tanto, $a+b+3c+4=5c-10,$ de donde $a+b=2c-14.$

Para que la moda sea única, $a$ y $b$ deben ser enteros positivos distintos, ambos menores que $c.$ Como $a+b=2c-14$ es par, la menor suma de este tipo es $1+3=4,$ así que $2c-14\ge4,$ lo que da $c\ge9.$

Por lo tanto, la menor moda posible es $c+2=11,$ y se alcanza con $1,3,9,11,11.$

Así, la respuesta es D.

Let the integers in increasing order be $a,b,c,d,e.$ The median is $c,$ and the unique mode is $c+2.$

Because the mode is larger than the median and is unique, the last two entries must both be $c+2,$ so the list is $a,b,c,c+2,c+2.$

The mean is $c-2,$ so $\begin{aligned} &\frac{a+b+c+(c+2)+(c+2)}{5} \\ &\quad = c-2. \end{aligned}$ Hence $a+b+3c+4=5c-10,$ so $a+b=2c-14.$

To keep the mode unique, $a$ and $b$ must be distinct positive integers, both less than $c.$ Since $a+b=2c-14$ is even, the smallest such sum is $1+3=4,$ so $2c-14\ge4,$ giving $c\ge9.$

The smallest possible mode is therefore $c+2=11,$ and it is attainable with $1,3,9,11,11.$

Thus, the answer is D .

11.

Todas las escuelas secundarias de un gran distrito escolar participan en una recaudación de fondos vendiendo camisetas. ¿Cuál de las opciones siguientes es lógicamente equivalente al enunciado “Ninguna escuela más grande que Euclid HS vendió más camisetas que Euclid HS”?

All the high schools in a large school district are involved in a fundraiser selling T-shirts. Which of the choices below is logically equivalent to the statement “No school bigger than Euclid HS sold more T-shirts than Euclid HS”?

Todas las escuelas más pequeñas que Euclid HS vendieron menos camisetas que Euclid HS.

All schools smaller than Euclid HS sold fewer T-shirts than Euclid HS.

Ninguna escuela que vendió más camisetas que Euclid HS es más grande que Euclid HS.

No school that sold more T-shirts than Euclid HS is bigger than Euclid HS.

Todas las escuelas más grandes que Euclid HS vendieron menos camisetas que Euclid HS.

All schools bigger than Euclid HS sold fewer T-shirts than Euclid HS.

Todas las escuelas que vendieron menos camisetas que Euclid HS son más pequeñas que Euclid HS.

All schools that sold fewer T-shirts than Euclid HS are smaller than Euclid HS.

Todas las escuelas más pequeñas que Euclid HS vendieron más camisetas que Euclid HS.

All schools smaller than Euclid HS sold more T-shirts than Euclid HS.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Usa el contrarrecíproco de la implicación

Use the contrapositive of the implication

Pista grande:

Traduce el enunciado a una implicación

Translate the statement into an implication

Solución:

El enunciado dice que, si una escuela es más grande que Euclid HS, entonces no vendió más camisetas que Euclid HS. Su contrarrecíproco afirma que, si una escuela vendió más camisetas que Euclid HS, entonces no es más grande que Euclid HS. Esto es exactamente la opción B. La opción C es más fuerte que el enunciado original porque también descarta que una escuela más grande venda el mismo número de camisetas.

Así, la respuesta es B.

The statement says: if a school is bigger than Euclid HS, then it did not sell more T-shirts than Euclid HS. Its contrapositive is: if a school sold more T-shirts than Euclid HS, then it is not bigger than Euclid HS. This is exactly choice B . Choice C is stronger than the original statement because it rules out a bigger school selling the same number of T-shirts.

Thus, the answer is B .

12.

Se lanza un par de dados justos de $6$ caras $n$ veces. ¿Cuál es el menor valor de $n$ tal que la probabilidad de que la suma de los números que quedan hacia arriba en un lanzamiento sea igual a $7$ al menos una vez sea mayor que $\dfrac{1}{2}$ ?

A pair of fair $6$ -sided dice is rolled $n$ times. What is the least value of $n$ such that the probability that the sum of the numbers face up on a roll equals $7$ at least once is greater than $\dfrac{1}{2}?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Compara $\left(\frac56\right)^n$ con $\frac12$ .

Compare $\left(\frac56\right)^n$ with $\frac12$

Pista grande:

Usa el complemento: ningún lanzamiento tiene suma $7.$

Use the complement: no roll has sum $7$

Solución:

Para calcular esto, también podemos encontrar el menor $n$ tal que la probabilidad de no obtener un $7$ sea menor que $\dfrac 12.$ Cada lanzamiento tiene una probabilidad independiente de $\dfrac 16$ de obtener $7,$ por lo que tiene una probabilidad de $\dfrac 56$ de no caer en $7.$

Así, la probabilidad de que ninguno de los lanzamientos sea $7$ es $\left(\dfrac 56\right)^n.$ Debemos encontrar el menor $n$ tal que $\left(\dfrac 56\right)^n < \dfrac 12.$

Si $n=3,$ entonces la probabilidad es $\dfrac{125}{216},$ que es mayor que $\dfrac 12.$

Si $n=4,$ entonces la probabilidad es $\dfrac{625}{1296},$ que es menor que $\dfrac 12.$ Esto hace que la respuesta sea $4.$

Así, la respuesta es C.

To compute this, we can also find the least $n$ such that the probability of not rolling a $7$ is less than $\dfrac 12.$ Each roll has an independent probability of $\dfrac 16$ of getting $7,$ so it has a $\dfrac 56$ probability of not landing on $7.$

Thus, the probability of none of the rolls being $7$ is $\left(\dfrac 56\right)^n.$ We must find the least $n$ such that $\left(\dfrac 56\right)^n < \dfrac 12.$

If $n=3,$ then the probability is $\dfrac{125}{216},$ which is greater than $\dfrac 12.$

If $n=4,$ then the probability is $\dfrac{625}{1296},$ which is less than $\dfrac 12.$ This makes the answer $4.$

Thus, the answer is C .

13.

La diferencia positiva entre un par de primos es igual a $2,$ y la diferencia positiva entre los cubos de los dos primos es $31106.$ ¿Cuál es la suma de las cifras del menor primo que es mayor que esos dos primos?

The positive difference between a pair of primes is equal to $2,$ and the positive difference between the cubes of the two primes is $31106.$ What is the sum of the digits of the least prime that is greater than those two primes?

$\ 8$

$\ 10$

$\ 11$

$\ 13$

$\ 16$

Conceptos:primo suma y diferencia de cubos dígitos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Factoriza la diferencia de cubos.

Factor the difference of cubes

Pista grande:

Sean los primos gemelos $p$ y $p+2$ .

Let the twin primes be $p$ and $p+2$

Solución:

Como los primos están a $2$ de distancia entre sí, podemos hacerlos iguales a $m-1,m+1,$ donde $m$ es su promedio.

Entonces, $(m+1)^3-(m-1)^3 = 31106 ,$ lo que da $m^3+3m^2+3m+1$ $-(m^3-3m^2+3m-1)$ $= 6m^2+2 = 31106.$

Por lo tanto, $m^2= 5184,$ así que $m=72.$

Entonces los primos son $71,73.$ El menor primo mayor que ambos es $79,$ y la suma de sus cifras es $16.$

Así, la respuesta es E.

Since the primes are $2$ away from each other, we can make them equal to $m-1,m+1,$ where $m$ is their average.

Then, $(m+1)^3-(m-1)^3 = 31106 ,$ making $m^3+3m^2+3m+1$ $-(m^3-3m^2+3m-1)$ $= 6m^2+2 = 31106.$

Therefore, $m^2= 5184,$ so $m=72.$

The primes are therefore $71,73.$ The least prime greater than both of those is $79,$ and its digit sum is $16.$

Thus, the answer is E .

14.

Supón que $S$ es un subconjunto de $\left\{ 1, 2, 3, \cdots , 25 \right\}$ tal que la suma de dos elementos cualesquiera (no necesariamente distintos) de $S$ nunca es un elemento de $S.$ ¿Cuál es el número máximo de elementos que $S$ puede contener?

Suppose that $S$ is a subset of $\left\{ 1, 2, 3, \cdots , 25 \right\}$ such that the sum of any two (not necessarily distinct) elements of $S$ is never an element of $S.$ What is the maximum number of elements $S$ may contain?

$\ 12$

$\ 13$

$\ 14$

$\ 15$

$\ 16$

Conceptos:subconjuntos argumento extremal emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Empareja los números menores que el elemento máximo de modo que cada par sume ese máximo

Pair the numbers below the maximum element so that each pair sums to that maximum

Pista grande:

Sea $m$ el elemento más grande de $S$

Let $m$ be the largest element of $S$

Solución:

El conjunto $S = \{13,14 \cdots ,25\}$ tiene $13$ elementos, y todo par tiene suma mayor que $25,$ así que este tamaño es alcanzable.

Recíprocamente, sea $m$ el máximo elemento de $S.$ Para cada elemento de $S$ que cumple $i<m,$ el número $i$ y el número $m-i$ no pueden pertenecer ambos a $S.$

Así, entre los números menores que $m,$ a lo sumo se puede elegir un número de cada par con suma $m$ ; si $m$ es par, tampoco se puede elegir el número central. Por lo tanto, a lo sumo $\lfloor \dfrac {m-1}2 \rfloor$ elementos son menores que $m,$ e incluyendo $m$ se obtienen a lo sumo $\lfloor \dfrac{m-1}2 \rfloor +1$ elementos.

El valor máximo de esto se da con $m=25,$ lo que produce $13.$

Así, la respuesta es B.

The set $S = \{13,14 \cdots ,25\}$ has $13$ elements, and every pair has sum greater than $25,$ so this size is attainable.

Conversely, let $m$ be the maximum element of $S.$ For every element of $S$ satisfying $i<m,$ the number $i$ and the number $m-i$ cannot both belong to $S.$

Thus, among the numbers below $m,$ at most one number can be chosen from each pair with sum $m$ ; if $m$ is even, the middle number cannot be chosen either. Hence at most $\lfloor \dfrac {m-1}2 \rfloor$ elements lie below $m,$ and including $m$ gives at most $\lfloor \dfrac{m-1}2 \rfloor +1$ elements.

The maximum value of this has $m=25,$ yielding $13.$

Thus, the answer is B .

15.

Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética con diferencia común $2.$ El cociente $\dfrac{S_{3n}}{S_n}$ no depende de $n.$ ¿Cuánto vale $S_{20}$ ?

Let $S_n$ be the sum of the first $n$ terms of an arithmetic sequence that has a common difference of $2.$ The quotient $\dfrac{S_{3n}}{S_n}$ does not depend on $n.$ What is $S_{20}?$

$340$

$360$

$380$

$400$

$420$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Obliga a que el cociente sea independiente de n

Force the quotient to be independent of n

Pista grande:

Escribe la progresión aritmética en términos del primer término y la diferencia común.

Write the arithmetic sequence in terms of first term and common difference

Solución:

Escribamos el término $n$ -ésimo como $a+2n,$ de modo que el término anterior al primero sea $a.$ Entonces, $\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1).\end{aligned}$

Por tanto, $\begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1}. \end{aligned}$

Para que esta expresión sea independiente de $n,$ el numerador $6(a+1)$ de la última fracción debe ser $0.$ Así, $a=-1.$

Por consiguiente, $S_{20}=20(-1+20+1)=400.$

Así, la respuesta es D.

Write the $n$ th term as $a+2n,$ so the term before the first term is $a.$ Then $\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1).\end{aligned}$

Hence $\begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1}. \end{aligned}$

For this expression to be independent of $n,$ its numerator $6(a+1)$ in the final fraction must be $0.$ Thus $a=-1.$

Therefore, $S_{20}=20(-1+20+1)=400.$

Thus, the answer is D .

16.

El diagrama de abajo muestra un rectángulo con lados de longitud $4$ y $8$ y un cuadrado con lado de longitud $5.$ Tres vértices del cuadrado están sobre tres lados diferentes del rectángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región que está dentro tanto del cuadrado como del rectángulo?

The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5.$ Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

$15\dfrac{1}{8}$

$15\dfrac{3}{8}$

$15\dfrac{1}{2}$

$15\dfrac{5}{8}$

$15\dfrac{7}{8}$

Conceptos:congruencia (geometría)semejanza trapecio

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

El lado de longitud $5$ da una relación de pendiente $3$ – $4$ – $5.$

The side length $5$ gives a $3$ – $4$ – $5$ slope relation

Pista grande:

Usa coordenadas o triángulos semejantes para el cuadrado inclinado.

Use coordinates or similar triangles for the tilted square

Solución:

Etiquetemos los puntos como se muestra:

Como $AB=4$ y el lado del cuadrado $BC=5,$ el triángulo rectángulo $ABC$ da $AC=3.$ Además, $BC\perp CE$ y $A,C,D$ son colineales, así que $\angle ABC=\angle DCE.$ Los triángulos rectángulos $ABC$ y $CDE$ tienen hipotenusas iguales $BC=CE=5,$ por lo que son congruentes. Entonces $CD=4, DE=3,$ y $EF=4-DE=1.$

Los triángulos rectángulos $EFG$ y $CDE$ son semejantes, así que $\frac{EG}{EF}=\frac{EC}{CD}=\frac54.$ Por tanto, $EG=\frac{5}{4}.$ La región sombreada $BCEG$ es un trapecio cuyas bases paralelas son $BC=5$ y $EG=\frac{5}{4},$ y cuya altura es el lado perpendicular $CE=5.$ Su área es $\frac12\left(5+\frac54\right)5=\frac{125}{8}=15\frac58.$

Así, la respuesta es D.

Label the points as shown:

Because $AB=4$ and the square side $BC=5,$ right triangle $ABC$ gives $AC=3.$ Also $BC\perp CE$ and $A,C,D$ are collinear, so $\angle ABC=\angle DCE.$ The right triangles $ABC$ and $CDE$ have equal hypotenuses $BC=CE=5,$ so they are congruent. Thus $CD=4, DE=3,$ and $EF=4-DE=1.$

Right triangles $EFG$ and $CDE$ are similar, so $\frac{EG}{EF}=\frac{EC}{CD}=\frac54.$ Hence $EG=\frac{5}{4}.$ The shaded region $BCEG$ is a trapezoid whose parallel sides are $BC=5$ and $EG=\frac{5}{4},$ and whose height is the perpendicular side $CE=5.$ Its area is $\frac12\left(5+\frac54\right)5=\frac{125}{8}=15\frac58.$

Thus, the answer is D .

17.

Uno de los siguientes números no es divisible por ningún número primo menor que $10.$ ¿Cuál es?

One of the following numbers is not divisible by any prime number less than $10.$ Which is it?

$2^{606}-1$

$2^{606}+1$

$2^{607}-1$

$2^{607}+1$

$2^{607}+3^{607}$

Conceptos:factorización aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Para la opción restante, prueba la divisibilidad por $2,$ $3,$ $5$ y $7.$

For the remaining choice, test divisibility by $2,$ $3,$ $5,$ and $7$

Pista grande:

Elimina cuatro opciones encontrando un divisor primo pequeño.

Eliminate four choices by finding a small prime divisor

Solución:

Usa el hecho de que $a^n-b^n$ es divisible por $a-b.$

La opción A es $2^{606}-1=4^{303}-1,$ que es divisible por $4-1=3.$

La opción B es $2^{606}+1=4^{303}-(-1)^{303},$ que es divisible por $4-(-1)=5.$

La opción D es $2^{607}+1.$ Como $2^{606}-1$ es divisible por $3,$ al multiplicar por $2$ se obtiene $2^{607}-2$ divisible por $3,$ de modo que $2^{607}+1$ es divisible por $3.$

La opción E es $3^{607}+2^{607}=3^{607}-(-2)^{607},$ que es divisible por $3-(-2)=5.$

Para la opción C, $2^{607}-1$ es impar. Además $2^{607}\equiv2\pmod3,$ $2^{607}\equiv3\pmod5,$ y $2^{607}\equiv2\pmod7,$ así que $2^{607}-1$ no es divisible por $3,5,$ ni $7.$

Así, nuestra respuesta es C.

Use the fact that $a^n-b^n$ is divisible by $a-b.$

Choice A is $2^{606}-1=4^{303}-1,$ which is divisible by $4-1=3.$

Choice B is $2^{606}+1=4^{303}-(-1)^{303},$ which is divisible by $4-(-1)=5.$

Choice D is $2^{607}+1.$ Since $2^{606}-1$ is divisible by $3,$ multiplying by $2$ gives $2^{607}-2$ divisible by $3,$ so $2^{607}+1$ is divisible by $3.$

Choice E is $3^{607}+2^{607}=3^{607}-(-2)^{607},$ which is divisible by $3-(-2)=5.$

For choice C, $2^{607}-1$ is odd. Also $2^{607}\equiv2\pmod3,$ $2^{607}\equiv3\pmod5,$ and $2^{607}\equiv2\pmod7,$ so $2^{607}-1$ is not divisible by $3,5,$ or $7.$

Thus, our answer is C .

18.

Considera sistemas de tres ecuaciones lineales con incógnitas $x,$ $y,$ y $z,$ $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z & = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z & = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z & = 0 \end{cases}$ donde cada coeficiente es $0$ o $1$ y el sistema tiene una solución distinta de $x=y=z=0.$ Por ejemplo, uno de esos sistemas es $\begin{cases} 1 x + 1 y + 0 z & = 0 \\ 0 x + 1 y + 1 z & = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{cases}$ con una solución no nula $(x,y,z) = (1, -1, 1).$ ¿Cuántos sistemas de ecuaciones de este tipo hay? (Las ecuaciones de un sistema no tienen por qué ser distintas, y dos sistemas que contienen las mismas ecuaciones en distinto orden se consideran diferentes.)

Consider systems of three linear equations with unknowns $x,$ $y,$ and $z,$ $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z & = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z & = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z & = 0 \end{cases}$ where each of the coefficients is either $0$ or $1$ and the system has a solution other than $x=y=z=0.$ For example, one such system is $\begin{cases} 1 x + 1 y + 0 z & = 0 \\ 0 x + 1 y + 1 z & = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{cases}$ with a nonzero solution of $(x,y,z) = (1, -1, 1).$ How many such systems of equations are there? (The equations in a system need not be distinct, and two systems containing the same equations in a different order are considered different.)

$\ 302$

$\ 338$

$\ 340$

$\ 343$

$\ 344$

Conceptos:sistema de ecuaciones conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Para tres filas no nulas distintas y dependientes, una es la suma ordinaria de otras dos con soportes disjuntos

For three distinct nonzero dependent rows, one row is the ordinary sum of two rows with disjoint supports

Pista grande:

Cuenta todas las matrices de coeficientes binarias y resta las no singulares.

Count all binary coefficient matrices and subtract nonsingular ones

Solución:

Hay $2^9=512$ matrices binarias ordenadas de coeficientes. Un sistema homogéneo tiene solo la solución nula exactamente cuando sus tres vectores fila son linealmente independientes, así que contamos esas matrices y restamos.

Una matriz independiente debe tener tres filas distintas y no nulas. Hay $7\cdot6\cdot5=210$ elecciones ordenadas de esas filas. Entre tres vectores binarios distintos y no nulos hay dependencia exactamente cuando uno es la suma ordinaria de los otros dos; los dos sumandos deben tener soportes disjuntos y no vacíos.

Si la suma tiene soporte de tamaño $2,$ elegimos sus dos coordenadas de $3$ maneras; los sumandos son los dos vectores unitarios correspondientes. Si la suma tiene soporte de tamaño $3,$ elegimos de $3$ maneras qué coordenada forma un sumando, y las otras dos forman el segundo. Por tanto, hay $3+3=6$ ternas dependientes no ordenadas, cada una con $3!=6$ órdenes de las filas.

Así, el número de matrices independientes es $210-6\cdot6=174.$ El número pedido de matrices singulares, y por tanto de sistemas con una solución no nula, es $512-174=338.$

Así, la respuesta es B.

There are $2^9=512$ ordered binary coefficient matrices. A homogeneous system has only the zero solution exactly when its three row vectors are linearly independent, so we count those matrices and subtract.

An independent matrix must have three distinct nonzero rows. There are $7\cdot6\cdot5=210$ ordered choices of such rows. Among three distinct nonzero binary vectors, dependence occurs exactly when one is the ordinary sum of the other two; the two summands must have disjoint nonempty supports.

If the sum has support of size $2,$ choose its two coordinates in $3$ ways; its summands are the two corresponding unit vectors. If the sum has support of size $3,$ choose which one coordinate forms one summand in $3$ ways, with the other two coordinates forming the other summand. Thus there are $3+3=6$ unordered dependent triples, each with $3!=6$ row orders.

Hence the number of independent matrices is $210-6\cdot6=174.$ The desired number of singular matrices, and therefore of systems with a nonzero solution, is $512-174=338.$

Thus, the answer is B .

19.

Cada casilla de una cuadrícula de $5 \times 5$ está llena o vacía, y tiene hasta ocho casillas vecinas adyacentes, donde las casillas vecinas comparten un lado o una esquina. La cuadrícula se transforma según las siguientes reglas:

• Cualquier casilla llena con dos o tres vecinas llenas permanece llena.

• Cualquier casilla vacía con exactamente tres vecinas llenas se convierte en una casilla llena.

• Todas las demás casillas permanecen vacías o se vuelven vacías.

En la figura de abajo se muestra un ejemplo de transformación.

Supón que la cuadrícula de $5 \times 5$ tiene un borde de casillas vacías que rodea una subcuadrícula de $3 \times 3$ . ¿Cuántas configuraciones iniciales llevarán a una cuadrícula transformada que consiste en una sola casilla llena en el centro después de una única transformación? (Las rotaciones y reflexiones de la misma configuración se consideran diferentes.)

Each square in a $5 \times 5$ grid is either filled or empty, and has up to eight adjacent neighboring squares, where neighboring squares share either a side or a corner. The grid is transformed by the following rules:

• Any filled square with two or three filled neighbors remains filled.

• Any empty square with exactly three filled neighbors becomes a filled square.

• All other squares remain empty or become empty.

A sample transformation is shown in the figure below.

Suppose the $5 \times 5$ grid has a border of empty squares surrounding a $3 \times 3$ subgrid. How many initial configurations will lead to a transformed grid consisting of a single filled square in the center after a single transformation? (Rotations and reflections of the same configuration are considered different.)

$\ 14$

$\ 18$

$\ 22$

$\ 26$

$\ 30$

Conceptos:simulación de procesos análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Separa los casos según si el centro está inicialmente lleno o vacío

Split into cases according to whether the center is initially filled or empty

Pista grande:

Toda casilla no central inicialmente llena debe desaparecer, y no puede nacer ninguna otra casilla vacía

Every initially filled noncenter square must disappear, and no other empty square may be born

Solución:

Primero supongamos que el centro está inicialmente lleno. Debe tener exactamente $2$ o $3$ vecinos llenos para sobrevivir. Cada uno de esos vecinos ya toca el centro, así que, para desaparecer, no puede tocar a ningún otro vecino lleno. Al comprobar estas posiciones no adyacentes por pares, las únicas opciones que no dan además a alguna casilla vacía exactamente $3$ vecinos llenos son dos esquinas opuestas. Hay $2$ configuraciones de este tipo.

Ahora supongamos que el centro está inicialmente vacío. Exactamente $3$ de sus ocho vecinos deben estar llenos. Cada uno de esos tres debe desaparecer, así que ninguno puede ser adyacente a los otros dos. Además, ninguna casilla vacía distinta del centro puede ser adyacente a los tres. Al aplicar estas dos pruebas se obtienen los siguientes cuatro patrones representativos:

Cada uno de los primeros tres patrones tiene $4$ rotaciones distintas. El último tiene $4$ rotaciones y sus $4$ imágenes reflejadas, para un total de $8$ configuraciones. Así, el caso con centro vacío aporta $4+4+4+8=20,$ y el total es $20+2=22.$

Así, la respuesta es C.

First suppose the center is initially filled. It must have exactly $2$ or $3$ filled neighbors to survive. Every such neighbor already touches the center, so to disappear it cannot touch any other filled neighbor. Checking these pairwise nonadjacent positions, the only choices that do not also give some empty square exactly $3$ filled neighbors are two opposite corners. There are $2$ such configurations.

Now suppose the center is initially empty. Exactly $3$ of its eight neighbors must be filled. Each of those three must disappear, so none may be adjacent to both of the others. Also, no empty square besides the center may be adjacent to all three. Applying these two tests gives the following four representative patterns:

Each of the first three patterns has $4$ distinct rotations. The last has $4$ rotations and their $4$ reflected images, for $8$ configurations. Thus the center-empty case contributes $4+4+4+8=20,$ and the total is $20+2=22.$

Thus, the answer is C .

20.

Sea $ABCD$ un rombo con $\angle ADC = 46^\circ.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{CD},$ y sea $F$ el punto sobre $\overline{BE}$ tal que $\overline{AF}$ es perpendicular a $\overline{BE}.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BFC$ ?

Let $ABCD$ be a rhombus with $\angle ADC = 46^\circ.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{CD},$ and let $F$ be the point on $\overline{BE}$ such that $\overline{AF}$ is perpendicular to $\overline{BE}.$ What is the degree measure of $\angle BFC?$

$\ 110$

$\ 111$

$\ 112$

$\ 113$

$\ 114$

Conceptos:persecución de ángulos cuadrilátero cíclico ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Demuestra que $D$ es el punto medio de $\overline{AG},$ de modo que $AG$ es un diámetro

Show that $D$ is the midpoint of $\overline{AG},$ making $AG$ a diameter

Pista grande:

Prolonga $\overline{BE}$ hasta cortar la recta $AD$ en $G$

Extend $\overline{BE}$ to meet line $AD$ at $G$

Solución:

Prolonguemos $\overline{BE}$ hasta cortar la recta $AD$ en $G.$ Como $AD\parallel BC,$ tenemos $\angle GDE=\angle ECB,$ y $\angle GED=\angle BEC$ son ángulos opuestos por el vértice. Además, $DE=EC,$ así que $\triangle GDE\cong\triangle BCE.$ Por tanto, $DG=BC=AD.$

Entonces $D$ es el punto medio de $\overline{AG}.$ El círculo con centro $D$ que pasa por $A$ también pasa por $C$ y $G.$ Como $AF\perp FG,$ el teorema de Tales coloca también a $F$ en este círculo.

Como $DG$ es opuesto a $DA,$ $\begin{aligned}\angle GDC&=180^\circ-\angle ADC\\&=134^\circ.\end{aligned}$ El ángulo inscrito $\angle GFC$ , que subtiende el arco $GC$ , mide entonces $67^\circ.$ Finalmente, $B,F,G$ son colineales, así que $\angle BFC=180^\circ-67^\circ=113^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Extend $\overline{BE}$ to meet line $AD$ at $G.$ Because $AD\parallel BC,$ we have $\angle GDE=\angle ECB,$ and $\angle GED=\angle BEC$ are vertical angles. Also $DE=EC,$ so $\triangle GDE\cong\triangle BCE.$ Hence $DG=BC=AD.$

Thus $D$ is the midpoint of $\overline{AG}.$ The circle centered at $D$ through $A$ also passes through $C$ and $G.$ Since $AF\perp FG,$ Thales’ theorem places $F$ on this circle as well.

Because $DG$ is opposite $DA,$ $\begin{aligned}\angle GDC&=180^\circ-\angle ADC\\&=134^\circ.\end{aligned}$ The inscribed angle $\angle GFC$ subtending arc $GC$ is therefore $67^\circ.$ Finally, $B,F,G$ are collinear, so $\angle BFC=180^\circ-67^\circ=113^\circ.$

Thus, the answer is D .

21.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que, cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2 + x + 1,$ el residuo es $x+2,$ y cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2+1,$ el residuo es $2x+1.$ Existe un único polinomio de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?

Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients such that when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + x + 1,$ the remainder is $x+2,$ and when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2+1,$ the remainder is $2x+1.$ There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?

$\ 10$

$\ 13$

$\ 19$

$\ 20$

$\ 23$

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Primero verifica si $Q$ puede ser constante, y luego prueba un polinomio lineal

First check whether $Q$ can be constant, and then try a linear polynomial

Pista grande:

Escribe $P=(x^2+x+1)Q+x+2,$ y luego reduce esta expresión módulo $x^2+1$

Write $P=(x^2+x+1)Q+x+2,$ then reduce this expression modulo $x^2+1$

Solución:

La primera condición sobre el residuo da $\begin{aligned}P(x)&=(x^2+x+1)Q(x)\\&\quad+x+2.\end{aligned}$ para algún polinomio $Q.$ Módulo $x^2+1,$ tenemos $x^2\equiv-1,$ así que $P(x)\equiv xQ(x)+x+2.$

Si $Q(x)=c$ es constante, este residuo es $(c+1)x+2,$ que no puede ser igual a $2x+1.$ Por lo tanto, $Q$ debe tener grado al menos $1.$

Tomemos ahora $Q(x)=ax+b.$ Al reducir módulo $x^2+1$ , se obtiene $P(x)\equiv(b+1)x+(2-a).$ Al comparar con $2x+1$ , resulta $a=b=1.$ Esto construye un polinomio de grado $3$ , y el fracaso del caso constante demuestra que el grado mínimo es $3$ .

Por tanto, $\begin{aligned}P(x)&=(x+1)(x^2+x+1)\\&\quad+x+2\\&=x^3+2x^2+3x+3.\end{aligned}$ La suma de los cuadrados de sus coeficientes es $1^2+2^2+3^2+3^2=23.$

Así, la respuesta es E.

The first remainder condition gives $\begin{aligned}P(x)&=(x^2+x+1)Q(x)\\&\quad+x+2.\end{aligned}$ for some polynomial $Q.$ Modulo $x^2+1,$ we have $x^2\equiv-1,$ so $P(x)\equiv xQ(x)+x+2.$

If $Q(x)=c$ is constant, this remainder is $(c+1)x+2,$ which cannot equal $2x+1.$ Thus $Q$ must have degree at least $1.$

Now let $Q(x)=ax+b.$ Reducing modulo $x^2+1$ gives $P(x)\equiv(b+1)x+(2-a).$ Matching this with $2x+1$ yields $a=b=1.$ This constructs a degree- $3$ polynomial, and the failed constant case proves that degree $3$ is minimal.

Therefore, $\begin{aligned}P(x)&=(x+1)(x^2+x+1)\\&\quad+x+2\\&=x^3+2x^2+3x+3.\end{aligned}$ The sum of the squares of its coefficients is $1^2+2^2+3^2+3^2=23.$

Thus, the answer is E .

22.

Sea $S$ el conjunto de circunferencias en el plano coordenado que son tangentes a cada una de las tres circunferencias con ecuaciones $x^{2}+y^{2}=4,\qquad x^{2}+y^{2}=64,$ y $(x-5)^{2}+y^{2}=3.$ ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias en $S$ ?

Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $x^{2}+y^{2}=4,\qquad x^{2}+y^{2}=64,$ and $(x-5)^{2}+y^{2}=3.$ What is the sum of the areas of all circles in $S?$

$\ 48 \pi$

$\ 68 \pi$

$\ 96 \pi$

$\ 102 \pi$

$\ 136 \pi$

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Agrupa los casos según si es tangente interna o externamente a la circunferencia concéntrica más pequeña

Pair cases according to whether it is internally or externally tangent to the smaller concentric circle

Pista grande:

Toda circunferencia buscada es tangente internamente a la circunferencia concéntrica más grande

Every desired circle is internally tangent to the largest concentric circle

Solución:

Llamemos círculos interior y exterior a los círculos concéntricos de radios $2$ y $8$ . Sea $r$ el radio de un círculo buscado y sea $d$ la distancia de su centro al origen. Debe ser tangente internamente al círculo exterior, así que $d+r=8.$

Si es tangente externamente al círculo interior, entonces $d-r=2,$ lo que da $(r,d)=(3,5).$ Si contiene al círculo interior, entonces $r-d=2,$ lo que da $(r,d)=(5,3).$ Por tanto, cada círculo buscado tiene radio $3$ o $5.$

El tercer círculo dado tiene radio $\sqrt3$ y centro $(5,0).$ Para cualquiera de los dos valores de $r,$ un círculo buscado puede ser tangente interna o externamente a él, así que la distancia entre sus centros es $r-\sqrt3$ o $r+\sqrt3.$ En los cuatro casos, si esta distancia es $q,$ entonces $|d-q|<5<d+q,$ de modo que el círculo de posibles centros corta al círculo de radio $d$ centrado en el origen en dos puntos, simétricos respecto al eje $x$ , como se muestra. Por ello, hay $4$ círculos buscados de cada radio.

El área total es $4(5^2\pi+3^2\pi)=136\pi.$ Así, E es la respuesta correcta.

Call the concentric circles of radii $2$ and $8$ the inner and outer circles. Let a desired circle have radius $r$ and let its center be distance $d$ from the origin. It must be internally tangent to the outer circle, so $d+r=8.$

If it is externally tangent to the inner circle, then $d-r=2,$ giving $(r,d)=(3,5).$ If it contains the inner circle, then $r-d=2,$ giving $(r,d)=(5,3).$ Thus every desired circle has radius $3$ or $5.$

The third given circle has radius $\sqrt3$ and center $(5,0).$ For either value of $r,$ a desired circle may be internally or externally tangent to it, so the distance between their centers is $r-\sqrt3$ or $r+\sqrt3.$ In all four cases, if this distance is $q,$ then $|d-q|<5<d+q,$ so the circle of possible centers intersects the circle of radius $d$ about the origin in two points, symmetric across the $x$ -axis, as shown. Hence there are $4$ desired circles of each radius.

The total area is therefore $4(5^2\pi+3^2\pi)=136\pi.$ Thus, E is the correct answer.

23.

La hormiga Amelia parte de la recta numérica en $0$ y se arrastra de la siguiente manera. Para $n=1,$ $2,$ $3;$ Amelia elige una duración de tiempo $t_n$ y un incremento $x_n$ de forma independiente y uniforme al azar del intervalo $(0,1).$ Durante el $n$ -ésimo paso del proceso, Amelia se mueve $x_n$ unidades en la dirección positiva, usando $t_n$ minutos. Si el tiempo total transcurrido ha superado $1$ minuto durante el $n$ -ésimo paso, se detiene al final de ese paso; de lo contrario, continúa con el siguiente paso, dando a lo sumo $3$ pasos en total. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición de Amelia cuando se detenga sea mayor que $1$ ?

Ant Amelia starts on the number line at $0$ and crawls in the following manner. For $n=1,$ $2,$ $3;$ Amelia chooses a time duration $t_n$ and an increment $x_n$ independently and uniformly at random from the interval $(0,1).$ During the $n$ th step of the process, Amelia moves $x_n$ units in the positive direction, using up $t_n$ minutes. If the total elapsed time has exceeded $1$ minute during the $n$ th step, she stops at the end of that step; otherwise, she continues with the next step, taking at most $3$ steps in all. What is the probability that Amelia’s position when she stops will be greater than $1?$

$\dfrac 13$

$\dfrac 12$

$\dfrac 23$

$\dfrac 34$

$\dfrac 56$

Conceptos:probabilidad geométrica eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Usa probabilidades geométricas para sumas de dos o tres números independientes en $(0,1)$

Use geometric probabilities for sums of two or three independent numbers in $(0,1)$

Pista grande:

El momento en que se detiene depende solo de las variables $t_1,$ $t_2$ y $t_3$

The stopping time depends only on the variables $t_1,$ $t_2,$ and $t_3$

Solución:

El tiempo de parada depende solo de las variables de tiempo, mientras que la posición final depende solo de las variables de distancia, así que las probabilidades correspondientes se multiplican.

Para dos números independientes en $(0,1),$ la probabilidad de que su suma sea menor que $1$ es el área de un triángulo rectángulo, a saber $\frac12.$

Para tres números independientes en $(0,1),$ la probabilidad de que su suma sea menor que $1$ es el volumen de un tetraedro con intersecciones de lado $1,$ a saber $\frac16.$

Si $t_1+t_2>1,$ Amelia se detiene después de dos pasos. Esto tiene probabilidad $\frac12,$ e independientemente $x_1+x_2>1$ tiene probabilidad $\frac12,$ contribuyendo $\frac14.$

Si $t_1+t_2<1,$ Amelia da el tercer paso. Esto tiene probabilidad $\frac12,$ e independientemente $x_1+x_2+x_3>1$ tiene probabilidad $1-\frac16=\frac56,$ contribuyendo $\frac5{12}.$

La probabilidad total es $\frac14+\frac5{12}=\frac23.$

Así, la respuesta es C.

The stopping time depends only on the time variables, while the final position depends only on the distance variables, so the corresponding probabilities multiply.

For two independent numbers in $(0,1),$ the probability that their sum is less than $1$ is the area of a right triangle, namely $\frac12.$

For three independent numbers in $(0,1),$ the probability that their sum is less than $1$ is the volume of a tetrahedron with side intercepts $1,$ namely $\frac16.$

If $t_1+t_2>1,$ Amelia stops after two steps. This has probability $\frac12,$ and independently $x_1+x_2>1$ has probability $\frac12,$ contributing $\frac14.$

If $t_1+t_2<1,$ Amelia takes the third step. This has probability $\frac12,$ and independently $x_1+x_2+x_3>1$ has probability $1-\frac16=\frac56,$ contributing $\frac5{12}.$

The total probability is $\frac14+\frac5{12}=\frac23.$

Thus, the answer is C .

24.

Considera las funciones $f$ que satisfacen $|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{1}{2}|x-y|$ para todos los números reales $x$ y $y.$ Entre las que además satisfacen $f(300) = f(900),$ ¿cuál es el mayor valor posible de la siguiente expresión? $f(f(800))-f(f(400))$

Consider functions $f$ that satisfy $|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{1}{2}|x-y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Of all such functions that also satisfy the equation $f(300) = f(900),$ what is the greatest possible value of the following expression? $f(f(800))-f(f(400))$

$25$

$50$

$100$

$150$

$200$

Conceptos:función desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Después de demostrar la cota superior, construye una función lineal por tramos que la alcance

After proving the upper bound, give a piecewise-linear function that attains it

Pista grande:

Usa dos veces la condición de contracción a cada lado de $f(300)=f(900)$

Use the contraction condition twice on each side of $f(300)=f(900)$

Solución:

Al aplicar dos veces la desigualdad de contracción se obtiene $\begin{aligned} &|f(f(400))-f(f(300))|\\ &\quad\le\frac12|f(400)-f(300)|\\ &\quad\le25, \end{aligned}$ y, de manera análoga, $|f(f(800))-f(f(900))|\le25.$

Sea $M=f(f(300))=f(f(900)).$ La desigualdad triangular da $\begin{aligned} &|f(f(800))-f(f(400))|\\ &\quad\le|f(f(800))-M|\\ &\qquad+|M-f(f(400))|\\ &\quad\le50. \end{aligned}$

Para alcanzar la cota, define $f$ por interpolación lineal a través de los puntos $\begin{gathered}(300,600),(400,550),(550,575),\\ (650,625),(800,650),(900,600).\end{gathered}$ y define $f(x)=600$ para $x\leq300$ o $x\geq900.$ Cada segmento tiene pendiente de valor absoluto a lo sumo $\dfrac12,$ así que se cumple la condición de contracción. En particular, $f(300)=f(900)=600,$ $f(400)=550,$ y $f(800)=650.$ Por lo tanto, $f(f(400))=f(550)=575,$ mientras que $f(f(800))=f(650)=625,$ lo que da la diferencia $50.$

Así, la respuesta es B.

Applying the contraction inequality twice gives $\begin{aligned} &|f(f(400))-f(f(300))|\\ &\quad\le\frac12|f(400)-f(300)|\\ &\quad\le25, \end{aligned}$ and similarly $|f(f(800))-f(f(900))|\le25.$

Set $M=f(f(300))=f(f(900)).$ The triangle inequality now yields $\begin{aligned} &|f(f(800))-f(f(400))|\\ &\quad\le|f(f(800))-M|\\ &\qquad+|M-f(f(400))|\\ &\quad\le50. \end{aligned}$

To attain the bound, define $f$ by linear interpolation through the points $\begin{gathered}(300,600),(400,550),(550,575),\\ (650,625),(800,650),(900,600).\end{gathered}$ and set $f(x)=600$ for $x\leq300$ or $x\geq900.$ Every segment has slope with absolute value at most $\dfrac12,$ so the contraction condition holds. In particular, $f(300)=f(900)=600,$ $f(400)=550,$ and $f(800)=650.$ Hence $f(f(400))=f(550)=575,$ while $f(f(800))=f(650)=625,$ giving the difference $50.$

Thus, the answer is B .

25.

Sea $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ $\dotsc$ una sucesión de números, donde cada $x_k$ es $0$ o $1.$ Para cada entero positivo $n,$ define $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k$ Supón que $7S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$ para todo $n \geq 1.$ ¿Cuál es el valor de la suma $x_{2019} + 2x_{2020} +$ $4x_{2021} + 8x_{2022}?$

Let $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ $\dotsc$ be a sequence of numbers, where each $x_k$ is either $0$ or $1.$ For each positive integer $n,$ define $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k$ Suppose $7S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$ for all $n \geq 1.$ What is the value of the sum $x_{2019} + 2x_{2020} +$ $4x_{2021} + 8x_{2022}?$

$6$

$7$

$12$

$14$

$15$

Conceptos:aritmética modular base numérica potencia de 2

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Halla $S_{2019}$ y $S_{2023},$ y luego resta para aislar los cuatro dígitos

Find $S_{2019}$ and $S_{2023},$ then subtract to isolate the four digits

Pista grande:

La congruencia define los dígitos binarios del inverso de $7$

The congruence defines the binary digits of the inverse of $7$

Solución:

La suma pedida es $\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}}.$ Además, $0\le S_n<2^n.$

Por tanto, para un único $m_n\in\{0,1,\ldots,6\},$ $7S_n=m_n2^n+1.$ Al reducir módulo $7$ se obtiene $m_n2^n\equiv-1\pmod7.$

Como $2^3\equiv1\pmod7$ y $2019\equiv0\pmod3,$ tenemos $m_{2019}=6.$ Como $2023\equiv1\pmod3,$ se cumple $2m_{2023}\equiv-1\pmod7,$ así que $m_{2023}=3.$ Por ello, $\begin{gathered}S_{2019}=\frac{6\cdot2^{2019}+1}{7},\\ S_{2023}=\frac{3\cdot2^{2023}+1}{7}.\end{gathered}$

Finalmente, $\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}} =\frac{3\cdot2^4-6}{7}=6.$

Así, la respuesta correcta es A.

The desired sum is $\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}}.$ Also, $0\le S_n<2^n.$

Therefore, for a unique $m_n\in\{0,1,\ldots,6\},$ $7S_n=m_n2^n+1.$ Reducing modulo $7$ gives $m_n2^n\equiv-1\pmod7.$

Since $2^3\equiv1\pmod7$ and $2019\equiv0\pmod3,$ we get $m_{2019}=6.$ Since $2023\equiv1\pmod3,$ we have $2m_{2023}\equiv-1\pmod7,$ so $m_{2023}=3.$ Hence $\begin{gathered}S_{2019}=\frac{6\cdot2^{2019}+1}{7},\\ S_{2023}=\frac{3\cdot2^{2023}+1}{7}.\end{gathered}$

Finally, $\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}} =\frac{3\cdot2^4-6}{7}=6.$

Thus, the correct answer is A .