Question

Joy tiene $30$ varillas delgadas, una de cada longitud entera desde $1$ cm hasta $30$ cm. Coloca sobre una mesa las varillas de longitudes $3$ cm, $7$ cm y $15$ cm. Luego quiere elegir una cuarta varilla que pueda juntar con estas tres para formar un cuadrilátero de área positiva. ¿Cuántas de las varillas restantes puede elegir como la cuarta varilla?

Joy has $30$ thin rods, one each of every integer length from $1$ cm through $30$ cm. She places the rods with lengths $3$ cm, $7$ cm, and $15$ cm on a table. She then wants to choose a fourth rod that she can put with these three to form a quadrilateral with positive area. How many of the remaining rods can she choose as the fourth rod?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Solución:

Observa que ningún lado puede ser mayor o igual que la suma de las longitudes de los otros lados.

Sea $x$ la longitud de la cuarta varilla. Entonces tenemos que $x \lt 3 + 7 + 15$ y $x + 3 + 7 \gt 15$ Simplificando, sabemos que $5\lt x\lt 25.$ Contando los enteros en este rango, nos quedan $25 - 5 - 1 = 19$ valores para $x.$

Sin embargo, las varillas de longitud $7$ y $15$ ya están en uso, así que $x$ no puede ser igual a estos valores.

Esto deja $19 - 2 = 17$ soluciones viables para $x.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that no one side can be greater than or equal to the sum of the other side lengths.

Let $x$ be the length fourth rod. Then we have that $x \lt 3 + 7 + 15$ and $x + 3 + 7 \gt 15$ Simplifying, we know that $5\lt x\lt 25.$ Counting the number of integers in this range, we are left with $25 - 5 - 1 = 19$ values for $x.$

The rods with length $7$ and $15$ are already being used, however, so $x$ cannot equal these.

This leaves $19 - 2 = 17$ viable solutions for $x.$

Thus, B is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años