Question

Cuarenta papeletas numeradas del $1$ al $40$ se colocan en un sombrero. Alice y Bob sacan cada uno un número del sombrero sin reemplazo, manteniendo sus números ocultos entre sí. Alice dice: “No puedo saber quién tiene el número más grande.” Luego Bob dice: “Yo sé quién tiene el número más grande.” Alice dice: “¿Lo sabes? ¿Tu número es primo?” Bob responde: “Sí.” Alice dice: “En ese caso, si multiplico tu número por $100$ y le sumo mi número, el resultado es un cuadrado perfecto.” ¿Cuál es la suma de los dos números sacados del sombrero?

Forty slips of paper numbered $1$ to $40$ are placed in a hat. Alice and Bob each draw one number from the hat without replacement, keeping their numbers hidden from each other. Alice says, "I can't tell who has the larger number." Then Bob says, "I know who has the larger number." Alice says, "You do? Is your number prime?" Bob replies, "Yes." Alice says, "In that case, if I multiply your number by $100$ and add my number, the result is a perfect square. " What is the sum of the two numbers drawn from the hat?

$27$

$37$

$47$

$57$

$67$

Solución:

Si Alice hubiera sacado $1$ o $40$ , sabría quién tiene el número más grande. Su primera afirmación le dice a Bob que Alice no tiene ni $1$ ni $40$ .

Entonces Bob puede saber quién tiene el número más grande solo si su número es $1,2,39,$ o $40$ . Como Bob dice que su número es primo, su número debe ser $2$ .

Ahora $100\cdot2$ más el número de Alice es un cuadrado entre $201$ y $240$ . El único cuadrado en ese intervalo es $225$ , así que el número de Alice es $25$ . La suma es $2+25=27$ .

Por lo tanto, la respuesta es A.

If Alice had drawn $1$ or $40$ , she would know who had the larger number. Her first statement tells Bob that Alice has neither $1$ nor $40$ .

Bob can then know who has the larger number only if his number is $1,2,39,$ or $40$ . Since Bob says his number is prime, his number must be $2$ .

Now $100\cdot2$ plus Alice's number is a square between $201$ and $240$ . The only square in that interval is $225$ , so Alice's number is $25$ . The sum is $2+25=27$ .

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Fall Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años