Question

En la suma que se muestra a continuación, $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ son dígitos distintos. ¿Cuántos valores diferentes son posibles para $D$ ? $\begin{array}{r} ABBCB \\ + \ BCADA \\ \hline DBDDD \end{array}$

In the addition shown below $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are distinct digits. How many different values are possible for $D?$ $\begin{array}{r} ABBCB \\ + \ BCADA \\ \hline DBDDD \end{array}$

$2$

$4$

$7$

$8$

$9$

Solución:

De la columna más a la izquierda no hay acarreo hacia un sexto dígito, así que $A+B=D\le 9$ .

La columna de las unidades es $B+A=D$ , así que tampoco tiene acarreo. La columna de las decenas da entonces $C+D=D$ , de donde $C=0$ .

Como $A$ y $B$ son dígitos distintos y no nulos, $D=A+B$ puede ser cualquier dígito de $3$ a $9$ . Por ejemplo, $(A,B)=(1,2),$ $(1,3),$ $(2,3),$ $(2,4),$ $(2,5),$ $(2,6),$ $(2,7)$ dan $D=3,4,5,6,7,8,9$ .

Así, hay $7$ valores posibles de $D$ , y la respuesta correcta es C.

From the leftmost column, there is no carry into a sixth digit, so $A+B=D\le 9$ .

The units column is $B+A=D$ , so it also has no carry. The tens column then gives $C+D=D$ , hence $C=0$ .

Since $A$ and $B$ are distinct nonzero digits, $D=A+B$ can be any digit from $3$ through $9$ . For example, $(A,B)=(1,2),$ $(1,3),$ $(2,3),$ $(2,4),$ $(2,5),$ $(2,6),$ $(2,7)$ give $D=3,4,5,6,7,8,9$ .

Thus there are $7$ possible values of $D$ , and the correct answer is C .

2014 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años