Question

En un plano dado, los puntos $A$ y $B$ están a $10$ unidades de distancia. ¿Cuántos puntos $C$ hay en el plano tales que el perímetro del $\triangle ABC$ sea $50$ unidades y el área del $\triangle ABC$ sea $100$ unidades cuadradas?

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

$0$

$2$

$4$

$8$

$\text{infinitely many}$

Solución:

La condición del área fija la distancia de $C$ a la recta $AB.$ Si esa distancia es $h,$ entonces $\frac{10h}{2}=100,$ así que $h=20.$ Por lo tanto, $C$ debe estar sobre una recta paralela a $AB$ a distancia $20.$

La condición del perímetro da $AC+BC=40,$ así que $C$ está sobre una elipse con focos $A,B$ y eje mayor $2a=40,$ de donde $a=20$ y $c=5.$ Su semieje menor es $\begin{aligned} b &= \sqrt{a^2-c^2} \\ &= \sqrt{400-25} \\ &= \sqrt{375} \\ &\approx19.36. \end{aligned}$

La mayor distancia posible de un punto de la elipse a la recta $AB$ es exactamente $b\approx19.36,$ que es menor que los $20.$ requeridos. Así que ningún punto $C$ satisface ambas condiciones.

Así, la respuesta es A.

The area condition fixes the distance from $C$ to line $AB.$ If that distance is $h,$ then $\frac{10h}{2}=100,$ so $h=20.$ Thus $C$ must lie on a line parallel to $AB$ at distance $20.$

The perimeter condition gives $AC+BC=40,$ so $C$ lies on an ellipse with foci $A,B$ and major axis $2a=40,$ hence $a=20$ and $c=5.$ Its semi-minor axis is $\begin{aligned} b &= \sqrt{a^2-c^2} \\ &= \sqrt{400-25} \\ &= \sqrt{375} \\ &\approx19.36. \end{aligned}$

The greatest possible distance from a point of the ellipse to line $AB$ is exactly $b\approx19.36,$ which is less than the required $20.$ So no point $C$ satisfies both conditions.

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años