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2019 AMC 10B Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2019 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

La función ff está definida por f(x)=⌊∣x∣⌋−∣⌊x⌋∣f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|para todos los números reales x,x, donde ⌊r⌋\lfloor r \rfloor denota el mayor entero menor o igual que el número real r.r. ¿Cuál es el rango de ff?
The function ff is defined by f(x)=⌊∣x∣⌋−∣⌊x⌋∣f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor| for all real numbers x,x, where ⌊r⌋\lfloor r \rfloor denotes the greatest integer less than or equal to the real number r.r. What is the range of f?f?
{−1,0} \{-1, 0\}
El conjunto de los enteros no positivos
The set of nonpositive integers
{−1,0,1}\{-1, 0, 1\}
{0} \{0\}
El conjunto de los enteros no negativos
The set of nonnegative integers
Respuesta: A
Conceptos:funciones piso y techovalor absolutoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:
Revisa por separado los números positivos, los enteros y los no enteros negativos.
Check positive numbers, integers, and negative non-integers separately
Pista grande:
Para los no enteros negativos, compara el redondeo antes y después de tomar el valor absoluto.
For negative non-integers, compare rounding before and after absolute value
Solución:
Si x≥0x\ge0, entonces ⌊∣x∣⌋=⌊x⌋=∣⌊x⌋∣\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|, así que f(x)=0f(x)=0.
Si xx es un entero negativo, ambos términos son iguales a ∣x∣|x|, por lo que también f(x)=0f(x)=0.
Si xx es negativo y no entero, escribimos x=−k−tx=-k-t, donde kk es un entero no negativo y 0<t<10<t<1. Entonces ⌊∣x∣⌋=k\lfloor|x|\rfloor=k, mientras que ∣⌊x⌋∣=∣−k−1∣=k+1|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1, de modo que f(x)=−1f(x)=-1.
Por tanto, el recorrido es {−1,0}.\{-1,0\}.
Así, la respuesta es A.
If x≥0x\ge0, then ⌊∣x∣⌋=⌊x⌋=∣⌊x⌋∣\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|, so f(x)=0f(x)=0.
If xx is a negative integer, both terms equal ∣x∣|x|, so again f(x)=0f(x)=0.
If xx is negative and not an integer, write x=−k−tx=-k-t, where kk is a nonnegative integer and 0<t<10<t<1. Then ⌊∣x∣⌋=k\lfloor|x|\rfloor=k, while ∣⌊x⌋∣=∣−k−1∣=k+1|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1, so f(x)=−1f(x)=-1.
Therefore, the range is {−1,0}.\{-1,0\}.
Thus, the answer is A .
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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