Question

La función $f$ está definida por $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ para todos los números reales $x,$ donde $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $r.$ ¿Cuál es el rango de $f$ ?

The function $f$ is defined by $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ for all real numbers $x,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r.$ What is the range of $f?$

$\{-1, 0\}$

El conjunto de los enteros no positivos

The set of nonpositive integers

$\{-1, 0, 1\}$

$\{0\}$

El conjunto de los enteros no negativos

The set of nonnegative integers

Solución:

Si $x$ fuera un entero, entonces $\begin{align*}\lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor| &= |x| -|x|\\&=0.\end{align*}$

Si $x$ fuera positivo, entonces $\begin{align*}\lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor| &= \lfloor x \rfloor - \lfloor x \rfloor \\&= 0.\end{align*}$

Ahora debemos considerar los no enteros negativos. Si tenemos un no entero negativo, entonces $\lfloor|x|\rfloor$ toma el opuesto de $x$ y luego redondea hacia abajo, mientras que $|\lfloor x \rfloor|$ redondea hacia abajo y luego toma el opuesto, lo que equivale a tomar el opuesto y redondear hacia arriba.

El primero redondea hacia abajo y el segundo hacia arriba; el segundo es $1$ mayor que el primero, lo que da $f=-1.$

Por lo tanto, el rango es $\{-1,0\}.$

Así, la respuesta es A.

If $x$ was an integer, then $\begin{align*}\lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor| &= |x| -|x|\\&=0.\end{align*}$

If $x$ was positive, then $\begin{align*}\lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor| &= \lfloor x \rfloor - \lfloor x \rfloor \\&= 0.\end{align*}$

Now, we must look at negative non-integers. If we have a negative non-integer, then $\lfloor|x|\rfloor$ would negate $x$ and then round down, while $|\lfloor x \rfloor|$ would round down then negate it, effectively negating it and rounding up.

The first one rounds down and the second one rounds up, the second one is $1$ larger than the first, making $f=-1.$

Therefore, the range is $\{-1,0\}.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años