Question

La figura de abajo muestra un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros; cada triángulo tiene un lado sobre un lado del cuadrado, cada triángulo tiene longitud de lado $2$ y los terceros vértices de los triángulos se encuentran en el centro del cuadrado. La región dentro del cuadrado pero fuera de los triángulos está sombreada. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

The figure below shows a square and four equilateral triangles, with each triangle having a side lying on a side of the square, such that each triangle has side length $2$ and the third vertices of the triangles meet at the center of the square. The region inside the square but outside the triangles is shaded. What is the area of the shaded region? \t\t

$4$

$12 - 4\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$16 - 4\sqrt{3}$

Solución:

La altura del triángulo es $\sqrt 3$ usando triángulos $30-60-90$ , así que la base total es $2\sqrt 3.$ La parte de la base en cada lado que no está en la región blanca es $2\sqrt 3 -2,$ así que la parte correspondiente a cada triángulo es $\sqrt 3 -1.$

Esto da $8$ triángulos en total con base $\sqrt 3-1$ y altura $\sqrt 3,$ así que el área combinada es $8\cdot \dfrac{(\sqrt 3)(\sqrt 3-1)}2$ $= 4\cdot (3-\sqrt 3)$ $= 12-4\sqrt 3.$

Así, la respuesta es B.

The altitude of the triangle is $\sqrt 3$ using $30-60-90$ triangles, so the total base is $2\sqrt 3.$ The total amount of the base on each side that isn't in the white region is $2\sqrt 3 -2,$ so the amount from each triangle is $\sqrt 3 -1.$

This makes $8$ total triangles with base $\sqrt 3-1$ and altitude $\sqrt 3,$ so the combined area is $8\cdot \dfrac{(\sqrt 3)(\sqrt 3-1)}2$ $= 4\cdot (3-\sqrt 3)$ $= 12-4\sqrt 3.$

Thus, the answer is B .

2019 AMC 10B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años