Question

El segundo y el cuarto términos de una sucesión geométrica son $2$ y $6.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es un posible primer término?

The second and fourth terms of a geometric sequence are $2$ and $6.$ Which of the following is a possible first term?

$-\sqrt{3}$

$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$3$

Sean los términos $a, ar, ar^2, ar^3,\dots$ con $ar=2$ y $ar^3=6.$ Al dividir se obtiene $r^2=3,$ así que $r=\pm\sqrt3$ .

Entonces $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.$ La opción $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ corresponde al caso negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the terms be $a, ar, ar^2, ar^3,\dots$ with $ar=2$ and $ar^3=6.$ Dividing gives $r^2=3,$ so $r=\pm\sqrt3.$

Then $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The choice $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ matches the negative case.

Thus, the correct answer is B.