Question

Se juega un juego con fichas según la siguiente regla. En cada ronda, el jugador con más fichas da una ficha a cada uno de los demás jugadores y además coloca una ficha en un montón de descarte. El juego termina cuando algún jugador se queda sin fichas. Los jugadores $A,$ $B,$ y $C$ empiezan con $15,$ $14,$ y $13$ fichas, respectivamente. ¿Cuántas rondas habrá en el juego?

A game is played with tokens according to the following rule. In each round, the player with the most tokens gives one token to each of the other players and also places one token into a discard pile. The game ends when some player runs out of tokens. Players $A,$ $B,$ and $C$ start with $15,$ $14,$ and $13$ tokens, respectively. How many rounds will there be in the game?

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

Solución:

Después de las tres primeras rondas los conteos pasan de $(15, 14, 13)$ a $(14, 13, 12).$ En general, cada tres rondas cada jugador pierde exactamente una ficha.

Después de $36$ rondas los conteos son $(3, 2, 1).$ En la ronda $37$ , el líder regala tres fichas y baja a $0,$ terminando el juego.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

After the first three rounds the counts go from $(15, 14, 13)$ to $(14, 13, 12).$ In general, every three rounds each player loses exactly one token.

After $36$ rounds the counts are $(3, 2, 1).$ On the $37$ th round the leader gives away three tokens and drops to $0,$ ending the game.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años